Bonjour
Design971
[tex]1)a)\ f(t)=\dfrac{t-2}{t(t-1)}[/tex]
Les pôles sont t = 0 et t = 1.
Ce sont deux pôles simples.
[tex]\dfrac{t-2}{t(t-1)}=\dfrac{A}{t}+\dfrac{B}{t-1}\\\\\dfrac{t-2}{t(t-1)}=\dfrac{A(t-1)+Bt}{t(t-1)}\\\\t-2=A(t-1)+Bt\\\\t=0\Longrightarrow-2=-A\Longrightarrow\boxed{A=2}\\\\t=1\Longrightarrow1-2=B\Longrightarrow\boxed{B=-1}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{t-2}{t(t-1)}=\dfrac{2}{t}-\dfrac{1}{t-1}}[/tex]
[tex]b)\ f(t)=\dfrac{2t+3}{(t+2)^2}[/tex]
Le pôle est t = -2, de multiplicité 2.
[tex]\dfrac{2t+3}{(t+2)^2}=\dfrac{A}{t+2}+\dfrac{B}{(t+2)^2}\\\\\\\dfrac{2t+3}{(t+2)^2}=\dfrac{A(t+2)+B}{(t+2)^2}\\\\2t+3=A(t+2)+B\\\\t=-2\Longrightarrow-4+3=B\Longrightarrow\boxed{B=-1}\\\\t=0\Longrightarrow3=2A+B\Longrightarrow3=2A-1\Longrightarrow2A=4\Longrightarrow\boxed{A=2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{2t+3}{(t+2)^2}=\dfrac{2}{t+2}-\dfrac{1}{(t+2)^2}}[/tex]
[tex]c)\ f(t)=\dfrac{t^3}{t^2-3t+2}\\\\f(t)=\dfrac{t^3}{(t-1)(t-2)}[/tex]
Les pôles sont 1 et 2. Ce sont des pôles simples.
[tex]\dfrac{t^3}{t^2-3t+2}=\dfrac{(t^3-3t^2+2t)+3t^2-2t}{t^2-3t+2}=\dfrac{t(t^2-3t+2)+3t^2-2t}{t^2-3t+2}\\\\\\=\dfrac{t(t^2-3t+2)}{t^2-3t+2}+\dfrac{3t^2-2t}{t^2-3t+2}\\\\\\=t+\dfrac{(3t^2-9t+6)+7t-6}{t^2-3t+2}=t+\dfrac{3(t-3t+2)+7t-6}{t^2-3t+2}\\\\\\=t+\dfrac{3(t-3t+2)}{t^2-3t+2}+\dfrac{7t-6}{t^2-3t+2}\\\\\\=t+3+\dfrac{7t-6}{t^2-3t+2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(t)=t+3+\dfrac{7t-6}{t^2-3t+2}}[/tex]
[tex]Or\ \ \dfrac{7t-6}{t^2-3t+2}=\dfrac{7t-6}{(t-1)(t-2)}\\\\\\\dfrac{7t-6}{(t-1)(t-2)}=\dfrac{A}{t-1}+\dfrac{B}{t-2}\\\\\dfrac{7t-6}{(t-1)(t-2)}=\dfrac{A(t-1)+B(t-2)}{(t-1)(t-2)}\\\\7t-6=A(t-1)+B(t-2)\\\\t=1\Longrightarrow7-6=B\times(-1)\Longrightarrow1=-B\Longrightarrow\boxed{B=-1}\\\\t=2\Longrightarrow14-6=A\times1\Longrightarrow\boxed{A=8}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{7t-6}{t^2-3t+2}=\dfrac{8}{t-1}-\dfrac{1}{t-2}}[/tex]
D'où [tex]\boxed{f(t)=t+3+\dfrac{8}{t-1}-\dfrac{1}{t-2}}[/tex]
Exercice 2
[tex]f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-\arctan x[/tex]
1) Parité de f
Pour tout x réel,
[tex]f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-\arctan x\\\\\Longrightarrow f(-x)=\dfrac{2(-x)}{(-x)^2+1}-\arctan (-x)\\\\f(-x)=\dfrac{-2x}{x^2+1}+\arctan x\\\\f(-x)=-(\dfrac{2x}{x^2+1}-\arctan x)\\\\f(-x)=-f(x)[/tex]
Par conséquent, la fonction f est impaire.
La courbe représentative de la fonction f est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.
Nous pouvons donc étudier la fonction sur l'intervalle [0 ; +oo[.
[tex]2)\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{2x}{x^2+1})-\lim\limits_{x\to+\infty}(\arctan x)\\\\=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{2x}{x^2})-\lim\limits_{x\to+\infty}(\arctan x)\\\\=\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{2}{x})-\lim\limits_{x\to+\infty}(\arctan x)\\\\=0-\dfrac{\pi}{2}\\\\=-\dfrac{\pi}{2}\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\dfrac{\pi}{2}}[/tex]
[tex]3)\ f'(x)=(\dfrac{2x}{x^2+1})'-(\arctan x)'\\\\\\f'(x)=\dfrac{(2x)'(x^2+1)-2x(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}-\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\f'(x)=\dfrac{2(x^2+1)-2x\times2x}{(x^2+1)^2}-\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\f'(x)=\dfrac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}-\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}-\dfrac{x^2+1}{(x^2+1)^2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-2x^2+2-x^2-1}{(x^2+1)^2}\\\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{1-3x^2}{(x^2+1)^2}}[/tex]
4) Signe de la dérivée et variations de f sur [0 ; +oo[
[tex]1-3x^2=0\Longrightarrow x^2=\dfrac{1}{3}\Longrightarrow x=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\x^2+1\neq0\ pour\ tout\ x\ r\acute{e}el.[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0,58&&+\infty\\1-3x^2&&+&0&-&\\(1+x^2)^2&&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-&\\f(x)&0&\nearrow&\approx0,34&\searrow&-\frac{\pi}{2}\\ \end{array}[/tex]
5) L'équation de la tangente (T) au point d'abscisse 0 est de la forme : y = f'(0)(x - 0) + f(0),
soit de la forme : y = f '(0)x + f(0)
Or
[tex]f'(x)=\dfrac{1-3x^2}{(x^2+1)^2}\Longrightarrow f'(0)=\dfrac{1-3\times0}{(0+1)^2}=1\\\\f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}-\arctan x\Longrightarrow f(0)=\dfrac{2\times0}{0^2+1}-\arctan 0=0-0=0[/tex]
Par conséquent, l'équation de la tangente (T) au point d'abscisse 0 est : y = x
6) Graphique en pièce jointe.
