Bonjour
Yacine931
[tex]f(x)=\dfrac{2x+5}{x^2+5x+6}[/tex]
1) Domaine de définition de f.
Condition : x² + 5x + 6 ≠ 0
Il faut donc exclure les solutions de l'équation x² + 5x + 6 = 0.
[tex]\Delta=5^2-4\times1\times6=25-24=1\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{-5-\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{-5-1}{2}=\dfrac{-6}{2}=-3\\\\x_2=\dfrac{-5+\sqrt{1}}{2\times1}=\dfrac{-5+1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;-2\}}[/tex]
[tex]2)\ a)\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x}{x^2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x}=0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=0}[/tex]
[tex]b)\ \lim\limits_{x\to-3^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-3^-}\dfrac{2x+5}{(x+3)(x+2)}\\\\\\=\lim\limits_{x\to-3^-}\dfrac{1}{x+3}\times\lim\limits_{x\to-3^-}\dfrac{2x+5}{x+2}\\\\\\=(-\infty)\times\dfrac{-6+5}{-3+2}\\\\=(-\infty)\times1\\\\=-\infty\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-3^-}f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]c)\ \lim\limits_{x\to-3^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-3^+}\dfrac{2x+5}{(x+3)(x+2)}\\\\\\=\lim\limits_{x\to-3^+}\dfrac{1}{x+3}\times\lim\limits_{x\to-3^+}\dfrac{2x+5}{x+2}\\\\\\=(+\infty)\times\dfrac{-6+5}{-3+2}\\\\=(+\infty)\times1\\\\=+\infty\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-3^+}f(x)=+\infty}[/tex]
[tex]d)\ \lim\limits_{x\to-2^-}f(x)=\lim\limits_{x\to-2^-}\dfrac{2x+5}{(x+3)(x+2)}\\\\\\=\lim\limits_{x\to-2^-}\dfrac{1}{x+2}\times\lim\limits_{x\to-2^-}\dfrac{2x+5}{x+3}\\\\\\=(-\infty)\times\dfrac{-4+5}{-2+3}\\\\=(-\infty)\times1\\\\=-\infty\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-2^-}f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]e)\ \lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=\lim\limits_{x\to-2^+}\dfrac{2x+5}{(x+3)(x+2)}\\\\\\=\lim\limits_{x\to-2^+}\dfrac{1}{x+2}\times\lim\limits_{x\to-2^+}\dfrac{2x+5}{x+3}\\\\\\=(+\infty)\times\dfrac{-4+5}{-2+3}\\\\=(+\infty)\times1\\\\=+\infty\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=+\infty}[/tex]
3) Nous déduisons de la réponse 2 a) qu'il existe une asymptote horizontale en -oo et en +oo d'équation y = 0.
Nous déduisons des 2 b) et c) qu'il existe une asymptote verticale d'équation x = -3.
Nous déduisons des 2 d) et e) qu'il existe une asymptote verticale d'équation x = -2.
