1-Toute suite bornée est convergente
Faux : la suite définie par un = (-1)^n est bien bornée puisque tous les termes sont compris entre -1 et 1 mais elle est périodique donc divergente
2-Toute suite géométrique strictement décroissante est divergente
Faux la suite définie par un =( 1/2)^n est décroissante mais
converge vers 0
3-Si Un>Vn à partir d'un certain rang n et si la suite (Vn) est croissante, alors lim Un= +infini
Faux prenons un = - 1/(2n) et vn = -1/n un - vn = 1/(2n) >0
donc un>vn ; vn+1 -vn = -1/(n+1) + 1/n = (-n+n+1) /(n(n+1) ) = 1/(n(n+1) ) >0 donc la suite (vn) est croissante et pourtant lim un=0
4-La suite de terme général (2^n+3^n)/(2^n-3^n) est convergente :VRAI
(2^n+3^n)/(2^n-3^n) = ((2/3)^n+1)/((2/3)^n-1) qui a pour limite -1
car lim (2/3)^n =0
5-La suite de terme général (2n+(-1)^n)/(3n+1) est divergente :FAUX
(2n+(-1)^n)/(3n+1) = (2+(-1)^n/n)/(3+1/n) qui converge vers 2/3
6-On considère une suite Un strictement positive et la suite Vn définie par Vn=1/(Un+2)
a)Si la suite Un est convergente, alors la suite Vn l'est aussi
VRAI car limUn = L forcément L≠-2 et lim Vn = 1 /(L+2)
b)Si la suite Vn est convergente, alors la suite Un l'est aussi
Faux prenons Un=n Vn = 1/(n+2) converge bien vers 0 mais Un diverge
7-La suite de terme général √(9n²+n)-3n est divergente FAUX
√(9n²+n)-3n = ( √(9n²+n)-3n )(√(9n²+n)+3n ) /(√(9n²+n)+3n )
=(9n²+n-9n²) / 3n( √(1+1/(3n))+ 1 ) = 1 / 3( √(1+1/(3n))+ 1 )
qui converge vers 1 / 3( √(1+ 1 ) = 1/6
