Bonjour POKOPOPS,
Exercice 1
1) a) [tex]\boxed{f(0)=0}[/tex]
f '(0) est le coefficient directeur de la droite (D).
Oe ce coefficient directeur est égal à [tex]\dfrac{y_B-y_0}{x_B-x_0}=\dfrac{5-0}{1-0}=5\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(0)=5}[/tex]
f '(2) est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse 2.
Puisque cette tangente est horizontale, son coefficient directeur est nul.
D'où [tex]\boxed{f'(2)=0}[/tex]
b) Tableau des variations de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&2&&+\infty\\f'(x)&+&+&0&-&\\f(x)&0&+&\approx3,7&-&0\\ \end{array}[/tex]
[tex]2)\ a)\ f(x)=(ax+b)e^{c\ x}\\\\f(0)=0\Longleftrightarrow(a\times0+b)e^{c\times0}=0\\\\\Longleftrightarrow be^0=0\Longleftrightarrow b\times1=0\Longleftrightarrow \boxed{b=0}[/tex]
D'où l'expression de f(x) peut s'écrire : [tex]f(x)=ax\times e^{c\ x}[/tex]
[tex]b)\ f'(x)=(ax\times e^{c\ x})'\\\\f'(x)=(ax)'\times e^{c\ x}+ax\times(e^{c\ x})'\\\\f'(x)=a\times e^{c\ x}+ax\times(c\times e^{c\ x})\\\\f'(x)=ae^{c\ x}+acx\times e^{c\ x}\\\\\boxed{f'(x)=a(1+cx) e^{c\ x}}[/tex]
[tex]c)\ f'(x)=a(1+cx) e^{c\ x}\\\\f'(0)=5\Longleftrightarrow a(1+c\times0) e^{c\times0}=5\Longleftrightarrow a(1+0) e^{0}=5\\\\\Longleftrightarrow a\times1\times1=5\\\\\Longleftrightarrow\boxed{a=5}\\\\\\f'(2)=0\Longleftrightarrow a(1+c\times2) e^{c\times2}=0\Longleftrightarrow 5(1+2c)e^{2c}=0\\\\\Longleftrightarrow 1+2c=0\ \ (car\ e^{2c}\neq0)\\\\\Longleftrightarrow\boxed{c=-\dfrac{1}{2}=-0,5}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{f(x)=5x\times e^{-0,5x}}[/tex]
Exercice 2
Partie A.
[tex]g(x)=e^{-x}(1-x)+1\\\\1)\ g'(x)=(e^{-x})'(1-x)+e^{-x}(1-x)'+0\\\\g'(x)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}\times(-1)\\\\g'(x)=-e^{-x}+xe^{-x}-e^{-x}\\\\g'(x)=xe^{-x}-2e^{-x}\\\\\boxed{g'(x)=(x-2)e^{-x}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-2&&+\infty\\g'(x)&&-&0&+&\\g(x)&&\searrow&1-e^{-2}\approx0,86&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent,
g est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 2]
g est croissante sur l'intervalle [2 ; +oo[
g admet un minimum environ égal à 0,86 pour x = 2.
2) En tenant compte des variations de la fonction g et en sachant que le minimum est positif, nous en déduisons que [tex]\boxed{g(x)\ \textgreater \ 0}[/tex] pour tout réel x.
Partie B
[tex]1)\ a)\ f(x)=x(e^{-x}+1)\\\\f'(x)=x'(e^{-x}+1)+x(e^{-x}+1)'\\\\f'(x)=1\times(e^{-x}+1)+x\times(-e^{-x}+0)\\\\f'(x)=e^{-x}+1-x\times e^{-x}\\\\f'(x)=e^{-x}-x\times e^{-x}+1\\\\\boxed{f'(x)=e^{-x}(1-x)+1}[/tex]
Nous en déduisons que [tex]\boxed{f'(x)=g(x)}[/tex]
b) puisque f '(x) = g(x) et que g(x) > 0 (voir partie A 2), nous en déduisons que f '(x)>0 pour tout réel x.
D'où le tableau des variations de f :
[tex]\begin{array}{|c|cccc|} x&-\infty&&&+\infty\\f'(x)&&+&&\\&&&&\\f(x)&-\infty&\nearrow&&+\infty\\ \end{array}[/tex]
2) Une équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 0 est de la forme :
y = f '(0)(x - 0) + f(0),
soit y = f '(0)x + f(0)
Or f(0) = 0
[tex]f'(0)=e^0(1-0)+1=1\times1+1=2\Longrightarrow f'(0)=2[/tex]
Par conséquent, une équation de la tangente T est [tex]y=2x+0\ \ soit\ \ \boxed{y=2x}[/tex]
3) Graphique en pièce jointe
