Afin de pouvoir étudier les variations de cette fonction, je trouve l'équation de sa fonction dérivée.
f(x) = [tex]\frac{4x}{(x^2+x+1)} [/tex]
On sait que la fonction dérivée d'une fonction de la forme f(x) = [tex] \frac{u}{v} [/tex] est la suivante f'(x) = [tex] \frac{(u'*v)-(u*v')}{y^2} [/tex] avec u = 4x et v = x²+x+1
Nous avons donc :
f'(x) = [tex]\frac{4(x^2+x+1))-(4x(2x+1))}{(x^2+x+1)^2} [/tex]
f'(x) = [tex]\frac{4x^2+4x+4-(8x^2+4x)}{(x^2+x+1)^2} [/tex]
f'(x) = [tex]\frac{-4x^2+4}{(x^2+x+1)^2} [/tex]
On sait que la fonction change de sens de variation quand sa fonction dérivée s’annule.
Nous devons donc trouver pour quelle(s) valeur(s) la fonction f'(x) est positive.
Je pose donc :
f'(x) > 0
soit
[tex]\frac{-4x^2+4}{(x^2+x+1)^2}> 0[/tex]
Une fraction est nulle lorsque son numérateur ou son dénominateur est nul.
Je pose l'équation pour vérifier si le dénominateur s'annule :
[tex](x^2+x+1)^2 > 0[/tex]
[tex](x^2+x+1) > 0[/tex]
Nous avons ainsi un polynôme du second degré. Nous devons ainsi poser :
Δ = b²-4ac
Δ = 1²-(4*1*1)
Δ = 1-4
Δ = -3
Si Δ < 0 alors l'équation n'a pas de solution. Le dénominateur de la fraction est donc strictement positif sur l'ensemble des réels.
Je pose l'équation pour vérifier si le numérateur s'annule :
[tex]-4x^2+4 > 0[/tex]
[tex]-4x^2 > -4[/tex]
[tex]-x^2 > -1[/tex]
[tex]x^2 < 1[/tex]
Les solutions de cette équation sont donc comprises dans l'intervalle [{[tex] -\sqrt{1} [/tex] ; [tex] \sqrt{1} [/tex]}]
La fonction f' est donc positive dans l'intervalle [-1 ; 1] ce qui veut donc dire qu'elle est négative en dehors de cet intervalle.
On sait qu'une fonction est croissante quand sa fonction dérivée est positive et inversement.
On peut donc dire que la fonction f est décroissante sur ]-∞ ; -1[, croissante sur [-1 ; 1] puis à nouveau décroissante sur ]1 ; +∞[
