1) f(x)= x * ( -x² +5) /( x²+3) f(-x)= -x *( -x² +5) /( x²+3) car (-x)²=x² donc
f est bien impaire sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repere
2) (-x^3 + 5x)' *(x²+3)-(-x^3+5x)(x²+3)' =
(-3x²+5)(x²+3) - (-x^3+5x)*(2x) = -3x^4 -4x² +15 - (-2x^4+10x²)
= -x^4 -14x² + 15 et (x²+15)(1-x²)= x² -x^4 +15-15x² = -x^4 -14x² +15
même résultat donc
dans la dérivée le seul facteur non positif est 1-x² le signe de f'(x) dépend donc de lui comme il est positif entre -1 et 1 la fonction décroit jusqu'à x= -1 et f(-1)= -1 puis croit jusqu'a x=1 et f(1)= 1 puis decroit à nouveau
T la tangente f(0)=0 f '(0)= 15/9 l'équation est y = 15/9 x = 5/3 x
la position dépend du signe de f(x) - 5/3 *x
= x [ (-x² +5) /( x²+3) - 5/3 ] = x/3 [ (-3x²+15) / (x²+3) - 5(x²+3) / x²+3) ]
= x /3 [ (-8x² ) / (x²+3) ] = -(x/3) * (8x²) / (x²+3)
ce signe est celui de -x/3 car le reqste est positif
si x <0 alors -x/3 >0 la différence est positive la courbe est au dessus de la tangente
sinon la courbe et au dessous si x >0
C coupe l'axe des abscisses en x=0 x =rac(5) x=-rac(5)
