:)
II.1) Il faut donc avoir à la fois l'ensemble de définition de f et celui de g, donc leur intersection.
On avait pour f :
Pour x ∈ ] -∞ ; 5/2 ] on a f(x) = -2x + 5
et Pour x ∈ [5/2;+∞[ on a f(x) = 2x - 5 (je referme donc l'intervalle, mais je ne sais pas si c'est bien, je pense juste que ça ne change rien)
et pour g : Dg = [3/2 ; +∞[
donc on va garder pour(*) :
D₁ = [3/2 ; 5/2 ] sur lequel (*) devient (*1) :
(*1) -2x + 5 = 2√(2x-3)
et D₂ = [5/2;+∞[ on a (*2) : 2x - 5 = 2√(2x-3)
On peut écrire que l'ensemble de définition de (*) est maintenant D=D₁ u D₂ (u pour union)
2) D'après l'équivalence donnée A=B ⇔ A²=B²:
(*) | 5-2x| = 2√ (2x-3) ⇔ (| 5-2x|)² = ( 2√ (2x-3) )² sur D
La valeur absolue de f n'a plus de sens maintenant, on peut écrire : (| 5-2x|)²= (5-2x)² puisqu'un carré est toujours positif par définition.
On développe : (5-2x)² = 25 - 20x+4x²
et ( 2√ (2x-3) )² = 4(2x-3) = 8x-12
donc on obtient 25 - 20x+4x² = 8x-12
et finalement 4x² -28x + 37 = 0
3) Pour les solutions :
Δ = 28² - 16*37 = 192 = 2*2*2*2*2*2*3 = (8√3)²
donc x = (+28 -8√3)/8 = (7/2) - √3 = 3,5-√3 ≈ 1,8 (c'est bon, c'est supérieur à 1,5 qui débute l'ensemble de définition)
ou x = (+28 +8√3)/8 = (7/2) + √3 = 3,5+√3 ≈ 5,2
Ex 2
1) D'après l'équation du cercle de centre A (voir cours) :
( x - 2)² + (y+1)² = 3² donc (C): (x-2)²+(y+1)²=9
2) Equation de l'axe des ordonnées : x=0
Donc l'intersection de cet axe des ordonnées et de (C) correspond à :
(0-2)²+(y+1)²=9 ⇔ 4 + y² +2y +1 - 9 = 0
y² +2y - 4=0 avec Δ = 4 + 16 = 20 = 2*2*5 = (2√5)²
donc y = (-2-2√5)/2 = -1-√5 point B' donc B'(0;-1-√5)
ou y = -1+√5 point B donc B(0;-1+√5)
3) droite D : ax+by+c=0 équation cartésienne
vecteur directeur u (-b; a) = (√5;1)
donc (D) : x - √5y +c=0
B ∈ (D) donc 0 -√5(-1+√5)+c=0
+√5-5+c =0 donc c = +5-√5
On obtient (D) : x - √5y + 5-√5=0
3) a) C'est quoi cette question? c'est comme ça qu'on a trouvé l'équation de (D)!!!!! Bon, ok, faisons-le quand même :
(D) : x - √5y + 5-√5=0 et B(0;-1+√5) donc si B ∈ (D) :
0 - √5(-1+√5) + 5-√5=0
0 +√5 - 5 +5-√5=0
0=0 donc on a bien B∈(D)
b) équation de la droite (OB) :d'après le 2), B est sur la droite d'équation x=0, de même que O origine du repère donc (OB) est confondue avec l'axe des ordonnées et son équation est x=0.
Donc B est à l'intersection de (OB) et de (D) (d'après le 3)
Prenons un autre point de (D) :
(D) : x - √5y + 5-√5=0 Prenons le point E d'ordonnée y=0
E ( -5+√5; 0)
On doit donc avoir (réciproque du théorème de Pythagore)
OB²+BE²=OE²
On calcule les distances avec la formule √[(xA-xB)² +(yA-yB)²]
