E(x) = x^4 -6x² +8 = 0 . On pose t = x²
E(x) =x²*x² -6x² +8 =0 => t*t -6t +8 = 0 => t² -6t +8 = 0
Pour résoudre cette équation, on calcule le discriminant : Δ = b²-4ac
Δ = (-6)² -4*8 = 36 -32 = 4 =2²
Δ est positif donc deux solutions t = ( -b-√Δ) /2a et t' = (-b+√Δ) ,/2a
t= (-(-6) -2) / 2 = 4/2 =2 et t' = 8 /2 = 4
or t = x² => x² = 2 donc x = -√2 ou √2
t' = x'² => x'² = 4 donc x' = -2 ou 2
E(x) = 0 a 4 solutions { -2 ; -√2 ; √2 ; 2}
exercice 2 : on montre d'abord que CF est plus grand que EC
F étant un point du cercle de centre E : EF = ED et ED² +EC² +DC²
ED² = 1² + 2² = 5 => ED =EF= √5 EF = EC+CF => CF = EF -EC + √5 -1≈1.236
CF est plus grand que EC
Euclide énonce : le segment entier (EF) est au plus grand segment (CF) comme le plus grand segment (CF) est au plus petit (EC), c'est-à-dire :
EF / CF = CF / EC or CF = x et EC = 1 => ( x+1) /x = x /1
On en déduit l'équation suivante : x/1 - (x+1) /x = 0 => x*x /1*x - (x+1) /x = 0
=>( x² -x- 1) /x = 0
on sait que x est un réel positif, alors x²-x-1 = 0
Δ = b²-4ac = (-1)² -4*-1 = 1 +4 = 5
Δ est positif donc 2 solutions : x= (1-√5 ) /2 et x' = (1+√5) /2
On ne retient que la racine positive, c'est-à-dire x' = (1+√5) /2
