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résolu

Bonjour je suis en 1ES et j'aimerais avoir votre aide s'il vous plait sur un exercice de maths.

Énoncé :

Une entreprise fabrique des poutres métalliques qu'elle vend 2.3 milliers d'euros la tonne. On note x le nombré de tonne de poutres produites. Le coût de production, en milliers d'euros, est donné par la fonction suivante:
C (x) = 0.4x^2-4.1x+0.8
On note B (x) la fonction représentant les bénéfices de l'entreprise.

1)Justifier que B (x) = -0.4x^2+6.4x-0.8
2) Construire le tableau de variations de la fonction B en justifiant les calculs.
3) Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise. Pour quel tonnage est-il atteint ?

Merci pour ceux qui pourrons m'aider.

Répondre :

Bonjour, 

1) Ton bénéfice est la différence entre ton prix de vente et  les coûts de production.  

Ta fonction Prix est  P(x) =  2.3x 
Ta fonction Coût :  C (x) = 0.4x^2-4.1x+0.8  

B(x) = P(x) - C(x) 

B(x) = 2.3x - (  0.4x²-4.1x+0.8  ) 

B(x) = 2.3x -0.4x² +4.1x-0.8 

B(x) = -0.4x²+6.4x -0.8 

2)  B(x) est un polynôme du second degré de forme : ax²+bx+c avec :

 a = -0.4 , b = 6.4 et c = -0.8 

 Or un polynôme du second degré est du signe a sauf entre les racines si elles existent. 


Calculons donc les racines de B(x) soit  :  B(x) =0 

B(x) = -0.4x²+6.4x -0.8 
 
le discriminant  delta = b²-4ac 
                                 =  6.4² - 4* -0.4*-0.8 
                                 =  40.96- 4* 0.32 
                                 = 40.96 - 1.28 
                                 = 39.68  

Delta est positif, donc B(x) = 0 admet deux solutions réelles.   

S1 = (-b+ Vdelta) /2a                          S2 = (-b-vdelta)/2a 
S1 =  ( -6.4 + V 39.68) /2*(-0.4)           S2 =  (-6.4 - V39.68) /2(-0.4) 
S1 =  0.12599212598819                     S2 =  15.874007874012 

B(x) est  négatif entre   )- infini; 0.12599212598819 ( U ) 15.87400078774012; + infini (   et donc positif entre  ) 0.12599212598819 ; 15.87400078774012 ( 

3)  le bénéfice est maximal pour le sommet de ta courbe. 

Son abscisse est  -b/2a.   soit  -6.4 / -0.8 = 8    
Son ordonnée est  :  -0.4(8)² +6.4(8) - 0.8 = 114


Donc Max bénéfice a pour coordonnée  :   MaxB ( 8; 114) 

Soit  8 tonnes produites pour un bénéfice maximum de 114 mille euros.  









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