Bonjour,
1)Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses, c'est résoudre f(x) = 0 sur le domaine de définition, c'est-à-dire 2x²-5x+2 = 0 . Calculons le discriminant Δ = b²-4ac = (-5)² - 4*2*2 = 25-16 = 9 =3²
Δ étant positif, il y a deux solutions x = (-b-√Δ /2a) et x' =(-b+√Δ)/2a
x= -(-5)-3 / 4 = 1/2 et x' = -(-5) +3 /4 =2
Il y a donc deux points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses :
I ( 1/2;0) et I' (2;0)
Trouver les points d'intersection avec l'axe des ordonnées, c'est calculer f(0)
f(0) = 2*0²-5*0 +2 /(0-3)² = 2/9 . Il ya un point d'intersection I" (0, 2/9)
2) Déterminons les limites de f quand x tend vers +∞ et -∞: pour cela j'utilise le théorème du plus haut degré : lim x→+∞ = 2x² /x² =2 et lim x→-∞ =2, f admet une asymptote horizontale d d'équation y=2 en -∞ et +∞
3) lim x→3 : quand x→3, alors (x-3)² →0 et f(x) →∞
si x<3 ou si x>3, (x-3)²> 0 et 2x²-5x+2 >0 donc lim x→3 = +∞, f admet une asymptote verticale d'équation x= 3
4) calcul de f'(x) , f est de la forme u/v alors f' est de la forme u'v-uv' /v²
avec u = 2x²-5x+2, u' = 4x-5
v= (x-3)² = x² -6x+9, v' = 2x-6
f'(x) = (4x-5)(x-3)(x-3) - 2(2x²-5x+2)(x-3) / (x-3)(x-3)^3
Je simplifie par (x-3), f'(x) =(4x-5)(x-3) -2(2x²-5x+2= / (x-3)^3
= 4x² -12x-5x+15 -4x²+10x-4 / (x-3)^3 = -7x +11 / (x-3)^3
Le sens de variation de f dépend du signe de f'
x : -∞ 1/2 11/7 2 3 +∞
-7x+11 : + + 0 - - || -
(x-3)(x-3)² : - - - - +
f'(x) : - - 0 + + || -
f(x) : 2 0 0 +∞|| +∞ 2
décroissante -0.45 croissante décroissante
f(x) est décroissante sur ]-∞ : 11/7[ et sur ]3 : +∞[
f(x) est croissante sur ] 11/7 ; 3[
L'équation de la tangente à C au point d'abscisse 2, s'écrit :
y = f'(2) (x-2) + f(2) . on sait que f(2) =0 , f'(2) = -7*2 +11 / (2-3)^3
= -14 +11 /(-1)^3 = -3 /-1 =3
L'équation de la tangente est y =3(x-2) = 3x-6
Tu trouveras en pièce jointe la représentation graphique de f, la tangente au point x' (2,0), et l'asymptote d
