Bonjour
Design971,
[tex]A=\begin{pmatrix}1&0&0\\6&-5&6\\3&-3&4\end{pmatrix}[/tex]
[tex]1)\ A^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\-6&7&-6\\-3&3&-2\end{pmatrix}[/tex]
[tex]2)\ A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\2a_n&1-2a_n&2a_n\\a_n&-a_n&1+a_n\end{pmatrix}\\\\\\a)\ A^{n+1}=A^n\times A\\\\\\A^{n+1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2a_n&1-2a_n&2a_n\\a_n&-a_n&1+a_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0&0\\6&-5&6\\3&-3&4\end{pmatrix}\\\\\\A^{n+1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2a_n+6-12a_n+6a_n&-5+10a_n-6a_n&6-12a_n+8a_n\\a_n-6a_n+3+3a_n&5a_n-3-3a_n&-6a_n+4+4a_n\end{pmatrix}\\\\\\A^{n+1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\6-4a_n&-5+4a_n&6-4a_n\\3-2a_n&-3+2a_n&4-2a_n\end{pmatrix}[/tex]
b) D'une part,
[tex]A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\2a_n&1-2a_n&2a_n\\a_n&-a_n&1+a_n\end{pmatrix}\\\\\\\Longrightarrow A^{n+1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\2a_{n+1}&1-2a_{n+1}&2a_{n+1}\\a_{n+1}&-a_{n+1}&1+a_{n+1}\end{pmatrix}[/tex]
D'autre part,
[tex]A^{n+1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\6-4a_n&-5+4a_n&6-4a_n\\3-2a_n&-3+2a_n&4-2a_n\end{pmatrix}[/tex]
En identifiant les éléments correspondants de ces deux expressions de [tex]A^{n+1}[/tex] et en particulier l'élément "3ème ligne-1ère colonne", nous obtenons :
[tex]\boxed{a_{n+1}=3-2a_n}[/tex]
[tex]3)\ b_n=a_n-1\\\\a)\ b_{n+1}=a_{n+1}-1\\\\b_{n+1}=(3-2a_{n})-1\\\\b_{n+1}=-2a_n+2\\\\b_{n+1}=-2(a_n-1)\\\\\boxed{b_{n+1}=-2b_n}[/tex]
D'où la suite [tex](b_n)[/tex] est une suite géométrique de raison -2 et dont le premier terme est [tex]b_1=a_1-1=3-1=\boxed{2}[/tex]
[tex]b)\ b_n=b_1\times(-2)^{n-1}\\\\\boxed{b_n=2\times(-2)^{n-1}}[/tex]
Or [tex]b_n=a_n-1\Longrightarrow a_n=1+b_n[/tex]
D'où
[tex]a_n=1+2\times(-2)^{n-1}\\\\a_n=1+2\times(-1)^{n-1}\times2^{n-1}\\\\\boxed{a_n=1+(-1)^{n-1}\times2^{n}}[/tex]
[tex]4)\ A^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\2a_n&1-2a_n&2a_n\\a_n&-a_n&1+a_n\end{pmatrix}\\\\\\avec\ \ a_n=1+(-1)^{n-1}\times2^n\\\\2a_n=2[1+(-1)^{n-1}\times2^n\\2a_n=2+(-1)^{n-1}\times2^{n+1}\\\\1-2a_n=1-2-(-1)^{n-1}\times2^{n+1}\\1-2a_n=-1-(-1)^{n-1}\times2^{n+1}\\\\-a_n=-1-(-1)^{n-1}\times2^n\\\\1+a_n=1+1+(-1)^{n-1}\times2^n\\1+a_n=2+(-1)^{n-1}\times2^n[/tex]
Par conséquent,
[tex]A^n=\\\\=\begin{pmatrix}1&0&0\\2+(-1)^{n-1}\times2^{n+1}&-1-(-1)^{n-1}\times2^{n+1}&2+(-1)^{n-1}\times2^{n+1}\\1+(-1)^{n-1}\times2^n&-1-(-1)^{n-1}\times2^n&2+(-1)^{n-1}\times2^n\end{pmatrix}[/tex]
