Bonjour
Ikramtout
1) Si M est un point d'affixe z et si A est le point d'affixe 2, alors |z-2| = MA.
Donc |z-2| = 1 <==> MA=1.
Donc M parcourt un cercle C de centre A d'affixe 2 et de rayon égal à 1.
2) Soit M un point d'intersection entre le cercle C et la droite D.
Puisque l'équation de D est y=ax, les coordonnées du point M sont (x ; ax).
Donc l'affixe du point M est z = x + iax
M est également sur le cercle C ==> |z-2| = 1
D'où
|z-2|=1 ⇔ |x+iax-2|=1 ⇔ |x+iax-2|²=1² ⇔ |(x-2)+iax|²=1
⇔ (x-2)² + a²x² = 1 ⇔ x²-4x+4+a²x²=1 ⇔ (1+a²)x² - 4x + 3 = 0
On sait que 1+a² > 0 (somme des carrés de deux réels)
D'où l'équation (1+a²)x² - 4x + 3 = 0 est une équation du second degré.
Les signes du discriminant Δ nous informeront sur le nombre de solutions de cette équation.
[tex]\Delta=(-4)^2-4\times(1+a^2)\times3=16-12(1+a^2)=16-12-12a^2\\\\\Delta=4-12a^2=4(1-3a^2)=4(1-\sqrt{3}a)(1+\sqrt{3}a)[/tex]
Faisons un tableau de signes de Δ.
Puisque 4>0, le signe de Δ sera celui de [tex](1-\sqrt{3}a)(1+\sqrt{3}a)[/tex]
[tex]1-\sqrt{3}a=0\Longleftrightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\\\\1+\sqrt{3}a=0\Longleftrightarrow a=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} a&-\infty&&-\frac{\sqrt{3}}{3}&&\frac{\sqrt{3}}{3}&&+\infty\\1-\sqrt{3}a&&+&+&+&0&-&\\1+\sqrt{3}a&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\Delta&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
D'où,
1) Si [tex]a\in]-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}[\ \cup\ ]\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty[[/tex], alors Δ < 0.
Dans ce cas, l'équation (1+a²)x² - 4x + 3 = 0 n'admettra pas de solution réelle.
Par conséquent, la droite D et le cercle C n'ont pas de point commun.
2) Si [tex]a\in]-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}[[/tex], alors Δ > 0.
Dans ce cas, l'équation (1+a²)x² - 4x + 3 = 0 admettra deux solutions distinctes.
Par conséquent, la droite D et le cercle C auront deux points communs.
3) Si [tex]a=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\ \ ou\ \ a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}[/tex], alors Δ = 0.
Dans ce cas, l'équation (1+a²)x² - 4x + 3 = 0 admettra exactement une solution.
Par conséquent, la droite D et le cercle C auront un seul point commun (la droite D sera alors tangente au cercle C)
