Bonjour
Thomasg07
Partie A : Étude géométrique de la bouteille
Exprimer en fonction du rayon x le volume V(x) de la bouteille en cm³.
Volume du cylindre de hauteur h et dont le rayon de la base est R :
[tex]V_{cylindre}=\pi\times R^2\times h[/tex]
Dans l'exercice : h = 75 et R = x
Donc
[tex]V_{cylindre}=\pi\times x^2\times75\\\\\boxed{V_{cylindre}=75\pi\ x^2}[/tex]
Volume d'une sphère de rayon R :
[tex]V_{sph\grave{e}re}=\dfrac{4}{3}\times\pi\ R^3[/tex]
Donc volume d'une demi-sphère :
[tex]V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\times\pi\ R^3\\\\\\V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{2}{3}\times\pi\ R^3[/tex]
Dans l'exercice : R = x
Donc [tex]\boxed{V_{demi-sph\grave{e}re}=\dfrac{2}{3}\pi\ x^3}[/tex]
Par conséquent, le volume de la bouteille en cm³ est égal à [tex]\boxed{V(x)=\dfrac{2}{3}\pi\ x^3+75\pi\ x^2}[/tex]
Partie B : Étude d'une fonction
[tex]1)\ f (x)=2x^3+235x^2\\\\f'(x)=(2x^3)'+(235x^2)'\\\\f'(x)=2\times(x^3)'+235\times(x^2)'\\\\f'(x)=2\times(3^2)+235\times(2x)\\\\\boxed{f'(x)=6x^2+470x}[/tex]
[tex]2)\ x(6x+270)=6x^2+470x\\\\x(6x+270)=f'(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=x(6x+270)}[/tex]
3) x ∈ [8,4 ; 10,2] ==> x > 0
et donc : 6x+270 > 0
D'où, x(6x+270) > 0 (car c'est un produit de deux nombres positifs)
Par conséquent f'(x)>0 sur l'intervalle [8,4 ; 10,2]
