Bonsoir,
ça équivaut à chercher un point de la courbe C de coordonnées (a, f(a )) qui a la même tangente qu'un point de la courbe C' de coordonnées (b, (f(b) )
La tangente à la courbe C s'écrit y = f'(a) (x-a) +f(a) avec
f(a) = a²-1 et f'(a) = 2a => y = 2a(x-a) +a² -1 => y = 2ax -a² -1
La tangente à C' s'écrit y = (2-2b)(x-b) -b² +2b -6 = (2-2b)x +2b² -2b -b² +2b -6
= (2-2b)x +b² -6
Pour avoir le même coefficient directeur : 2a = 2-2b => b = 1 -a
Pour avoir des tangentes égales : -a²-1 = b² -6, remplaçons b par 1-a
-a² -1 = (1-a)² -6 => -a² -1 = 1 +a² -2a -6 => 1+a²-2a-6+a²+1 = 0 =>
2a² -2a -4 =0 une racine évidente a = -1 , l'autre a' = 2
résumons :
sur C, nous avons un point A d'abscisse -1 et d' ordonnée 0 qui à la même tangente que le point B d'abscisse b = 1-a = 2 et d' ordonnée -6 : l'équation de la tangente est y = -2x-2
Il existe un 2ème point de C , A'(2 ; 3) qui a la même tangente que le point B' de C' de coordonnées (-1, -9) : l'équation de la tangente y = 4x -5
Il existe donc deux tangentes communes aux deux courbes
