f(x)=(2x+1/x-2)
1) conjecture r le sens de variation de f
Pour connaitre le sens de variation de de f(x) il suffit d'étudier le signe de sa dérivé.
or f(x) est de la forme u/v avec u= 2x+1 et v=x-2 donc d'après cour on a
u' soit la dérivé de u
u'=2 et v'=1
or f(x)=(2x+1)/(x-2) donc f'(x)=((u'*v)-(v'u))/(v^2)
on remplace ce qui fait donc f'(x)= ((2(x-2))-(1*(2x+1)))/(x-2)^2
on simplifie f'(x)=(2x-4-2x-1)/(x-2)^2 conseil le dénominateur tu le change pas
donc on à enfin f'(x)=-5/(x-2)^2
on voit bien que le signe du numérateur soit -5 est négatif
donc on conclue que sur -infini;2 la fonction est croissant car a=-5 donc - le signe de a c'est positif d'où le fait que c'est croissant.
Sur 2;+infini par contre c'est décroissant car on prend le signe de a et est négatif car a=-5
donc f est bien décroissant sur 2;+infini
2)Vérifier que f(b)-f(a)=5(a-b)/(b-2)(a-2)
On choisit détudier soit f(b)-f(a) et on doit retrouver 5(a-b)/(b-2)(a-2)
ou inversement;
Moi je choisit de faire f(b)-f(a)
Dans un premier temps je remplace f(b) et f(a) par leurs expression respective soit
f(b)=2b+1/b-2 c'est à dire que l'on repart de l'expression de f(x)( et on remplace x par b.
On faire la même chose pour a.
donc on a
f(b)-f(a)=(2b+1/b-2)-(2a+1/a-2)
il faut mettre au même dénominateur on peut par additionner des choux et carotte comme dise certains.
f(b)-f(a)=(((2b+1)(a-2))/((b-2)(a-2)))-(((2a+1)(b-2))/((a-2)(b-2)))
se qui nous donne
f(b)-f(a)=((2ba-4b+a-2)/(b-2)(a-2))-((2ab+b-4a-2)/(a-2)(b-2))
se qui nous simplifie un peu
f(b)-f(a)=(2ba-4b+a-2-2ab+b-4a-2)/(a-2)(b-2)
enfin nous avons
f(b)-f(a)=(-3a-3b)/(a-2)(b-2)
et donc
f(b)-f(a)= -3(a+b)/(a-2)(b-2).
