Bonjour
Oceean
1) Soit le point A d'affixe -2 et le point B d'affixe 4i.
Alors |z + 2| = |z - 4i| ⇔ AM = BM.
Les points M sont donc à égales distances de A et de B.
Une expression mathématique de l'ensemble des points M est :
l'ensemble des points M tels que |z + 2| = |z - 4i| est la médiatrice du segment [AB].
Seconde expression mathématique de cet ensemble.
Soit z = x + iy
Alors : |z + 2| = |z - 4i| ⇔ |x + iy + 2| = |x + iy -4i|
⇔ |(x + 2) + iy| = |x + (y - 4)i|
⇔ |(x + 2) + iy|² = |x + (y - 4)i|²
⇔ (x + 2)² + y² = x² + (y - 4)²
⇔ x² + 4x + 4 + y² = x² + y² - 8y + 16
⇔ 4x + 8y - 12 = 0
⇔ x + 2y - 3 = 0
Par conséquent, une seconde expression mathématique de cet ensemble de points est l'équation x + 2y - 3 = 0.
[tex]2)\ \dfrac{z-2+i}{z-2i}=-i\Longleftrightarrow\dfrac{z-z_A}{z-z_B}=-i\\\\\\|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}|=|-i|\Longleftrightarrow|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}|=1\Longleftrightarrow|\dfrac{AM}{BM}|=1\Longleftrightarrow\boxed{AM=BM}[/tex]
[tex]\arg(\dfrac{z-z_A}{z-z_B})=\arg(-i)\Longleftrightarrow\arg(\dfrac{z-z_A}{z-z_B})=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]\\\\\\\\\Longleftrightarrow\boxed{(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi]}[/tex]
Par conséquent, le triangle MAB est est un triangle isocèle rectangle en M.
[tex]3)\ z_A=-1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\ \ et\ \ z_B=\sqrt{2}e^{-5i\frac{\pi}{6}}\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{z_A}{z_B}=\dfrac{\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}}{\sqrt{2}e^{-5i\frac{\pi}{6}}}=e^{i(3\frac{\pi}{4}+5i\frac{\pi}{6})}}=e^{i\frac{19\pi}{12}}\\\\\\\Longrightarrow|\dfrac{z_A}{z_B}|=1\ \ \ et\ \ \ \arg(\dfrac{z_A}{z_B})=\dfrac{19\pi}{12}[2\pi]\\\\\\\Longrightarrow\dfrac{AO}{B0}=1\ \ \ et\ \ \ \arg(\dfrac{z_A}{z_B})=\dfrac{19\pi}{12}[2\pi][/tex]
[tex]\Longrightarrow OA=OB\ \ et\ \ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\neq\dfrac{\pi}{2}[\pi][/tex]
Par conséquent, le triangle OAB est isocèle en O mais n'est pas rectangle.
[tex]4)\ -\sqrt{3}+i=2e^{i\frac{5\pi}{6}}\Longrightarrow(-\sqrt{3}+i)^{2013}=(2e^{i\frac{5\pi}{6}})^{2013}\\\\\\(-\sqrt{3}+i)^{2013}=2^{2013}\times e^{i2013\times\frac{5\pi}{6}}=2^{2013}\times e^{i\frac{10065\pi}{6}}\\\\\\(-\sqrt{3}+i)^{2013}=2^{2013}\times e^{i(1677\pi+\frac{\pi}{2})}\\\\\\(-\sqrt{3}+i)^{2013}=2^{2013}\times e^{i(839\times2\pi-\frac{\pi}{2})}[/tex]
D'où [tex]\arg(-\sqrt{3}+i)^{2013}=-\dfrac{\pi}{2}[2\pi][/tex]
Par conséquent, [tex](-\sqrt{3}+i)^{2013}[/tex] est un imaginaire pur.
[tex]z=2e^{i\frac{\pi}{7}}\Longrightarrow z^{2016}=(2e^{i\frac{\pi}{7}})^{2016}=2^{2016}(e^{i\frac{\pi}{7}})^{2016}=2^{2016}e^{i\frac{2016\pi}{7}}\\\\\\\Longrightarrow z^{2016}=2^{2016}e^{i288\pi}=2^{2016}(e^{i2\pi})^{144}=2^{2016}\times1^{144}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{z^{2016}=2^{2016}}[/tex]
Par conséquent, [tex]z^{2016}[/tex] est un nombre réel positif.
[tex]6)\ z^2-2\sqrt{3}z+4=0\\\\z^2-2\sqrt{3}z+3+1=0\\\\z^2-2\sqrt{3}z+(\sqrt{3})^2+1=0\\\\(z-\sqrt{3})^2+1=0\\\\(z-\sqrt{3})^2=-1\\\\\Longrightarrow z-\sqrt{3}=i\ \ ou\ \ z-\sqrt{3}=-i\\\\\Longrightarrow z=\sqrt{3}+i\ \ ou\ \ z=\sqrt{3}-i\\\\\Longrightarrow\boxed{z=2e^{i\frac{\pi}{6}}\ \ ou\ \ z=2e^{-i\frac{\pi}{6}}}[/tex]
