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Bonsoir ;
[tex] \frac{1+ \frac{ e^{x} }{e^{2x}}- \frac{ 4 }{e^{x}}}{1+\frac{ e^{x} }{e^{2x}}} = \frac{1+ e^{-x}-4 e^{-x} }{1+ e^{-x} } = \frac{1-3 e^{-x} }{1+ e^{-x} }[/tex]
donc
[tex] \lim_{x \to -\infty} \frac{1+ \frac{ e^{x} }{e^{2x}}- \frac{ 4 }{e^{x}}}{1+\frac{ e^{x} }{e^{2x}}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1-3 e^{-x} }{1+ e^{-x} } = \lim_{x \to - \infty} \frac{-3 e^{-x} }{e^{-x} }=-3[/tex]
et
[tex] \lim_{x \to +\infty} \frac{1+ \frac{ e^{x} }{e^{2x}}- \frac{ 4 }{e^{x}}}{1+\frac{ e^{x} }{e^{2x}}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1-3 e^{-x} }{1+ e^{-x} } = 1[/tex]
[tex] \frac{1+ \frac{ e^{x} }{e^{2x}}- \frac{ 4 }{e^{x}}}{1+\frac{ e^{x} }{e^{2x}}} = \frac{1+ e^{-x}-4 e^{-x} }{1+ e^{-x} } = \frac{1-3 e^{-x} }{1+ e^{-x} }[/tex]
donc
[tex] \lim_{x \to -\infty} \frac{1+ \frac{ e^{x} }{e^{2x}}- \frac{ 4 }{e^{x}}}{1+\frac{ e^{x} }{e^{2x}}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1-3 e^{-x} }{1+ e^{-x} } = \lim_{x \to - \infty} \frac{-3 e^{-x} }{e^{-x} }=-3[/tex]
et
[tex] \lim_{x \to +\infty} \frac{1+ \frac{ e^{x} }{e^{2x}}- \frac{ 4 }{e^{x}}}{1+\frac{ e^{x} }{e^{2x}}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1-3 e^{-x} }{1+ e^{-x} } = 1[/tex]
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