Bonjour
Gliyome
[tex]1)\ \overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EL}\\\\=-\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{EL}\\\\=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{EF}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{KL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{EF}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}}\\\\\\2)\ \overrightarrow{KM}=\overrightarrow{KE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FM}\\\\=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{FG}[/tex]
[tex]\\\\=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{6}(\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{EG})\\\\=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EF}-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{EG}\\\\=(\overrightarrow{EF}-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{EF})+(\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{EG})\\\\=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{EF}+\dfrac{10}{6}\overrightarrow{EG}\\\\=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{EF}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{EG}[/tex]
D'où
[tex]\boxed{\overrightarrow{KM}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{EF}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{EG}}[/tex]
3) a) En utilisant les résultats précédents, nous avons :
d'une part,
[tex]\overrightarrow{KL}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{EF}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}\\\\\dfrac{1}{3}\overrightarrow{KL}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{EG}\\\\\boxed{{\dfrac{4}{3}\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{EF}+2\overrightarrow{EG}}}[/tex]
d'autre part,
[tex]\overrightarrow{KM}=\dfrac{5}{6}\overrightarrow{EF}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{EG}\\\\\dfrac{1}{5}\overrightarrow{KM}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{EF}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{EG}\\\\\boxed{\dfrac{6}{5}\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{EF}+2\overrightarrow{EG}}[/tex]
Nous en déduisons que
[tex]\dfrac{4}{3}\overrightarrow{KL}=\dfrac{6}{5}\overrightarrow{KM}\\\\\\\overrightarrow{KL}=\dfrac{3}{4}\times\dfrac{6}{5}\overrightarrow{KM}\\\\\\\overrightarrow{KL}=\dfrac{18}{20}\overrightarrow{KM}\\\\\\\boxed{\overrightarrow{KL}=\dfrac{9}{10}\overrightarrow{KM}}[/tex]
b) Les vecteurs [tex]\overrightarrow{KL}[/tex] et [tex]\overrightarrow{KM}[/tex]
sont donc colinéaires.
Par conséquent, les points K, L et M sont alignés.
