Bonjour,
1) On pose X = sin(x)
L'équation devient :
4X² - 2(1 + √3)X + √3 = 0
On va poser A(X) = 4X² - 2(1 + √3)X + √3
On peut remarquer, pour X = √3/2 :
A(√3/2) = 4 x (√3/2)² -2(1 + √3)√3/2 + √3
= 3 - √3 - 3 + √3
= 0
Donc on peut factoriser (X - √3/2) :
A(X) = (X - √3/2)(4X - 2)
On vérifie bien : (X - √3/2)(4X - 2) = 4X² - 2X - 2√3X + √3 = 4X² - 2(1 + √3)X + √3 = A(X)
Les 2 solutions sont donc :
X₁ = √3/2 et X₂ = 1/2
soit : sin(x) = √3/2 et sin(x) = 1/2
soit x = π/3 + 2kπ ou x = 2π/3 + 2kπ
et x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ
avec k ∈ Z
2) B(x) = -4cos²(x) + (2√3 - 2)sin(π/2 - x) + √3
sin(π/2 - x) = cos(x)
⇒ B(x) = -4cos²(x) + 2(√3 - 1)cos(x) + √3
On pose X = cos(x) ⇒ X ∈ [-1;1]
⇒ B(X) = -4X² + 2(√3 - 1)X + √3
Comme précédemment :
B(√3/2) = -3 + 3 - √3 + √3 = 0
Donc B(X) = (X - √3/2)(-4X - 2)
Donc 2 racines : X₁ = √3/2 et X₂ = -1/2
soit x₁ = π/6 ou x₂ = 11π/6 ou x₃ = 2π/3 ou x₄ = 4π/3
Tableau de signes :
X -1 -1/2 √3/2 1
X - √3/2 - - 0 +
-4X - 2 + 0 - -
B(X) - 0 + 0 -
On en déduit le signe de B(x) sur [0;2π[
x 0 π/6 2π/3 4π/3 11π/6 2π
cos(x) - √3/2 + 0 - - - 0 +
-4cos(x) - 2 - - 0 + 0 - -
B(x) - 0 + 0 - 0 + 0 -
