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Bonjour
Carolinaaaaa,
[tex]1)\ \overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B)=(0+1;1-1;2-0)=(1;0;2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}:(1;0;2)}\\\\\\\overrightarrow{CD}:(x_D-x_C;y_D-y_C;z_D-z_C)=(6-0;6-1;-1-2)=(6;5;-3)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CD}:(6;5;-3)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=1\times6+0\times5+2\times(-3)\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=6+0-6\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{CD}}[/tex]
D'où le triangle BCD est rectangle en C.
Montrons que ce triangle n'est pas isocèle.
[tex]BC=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\\\CD=\sqrt{6^2+5^2+(-3)^2}=\sqrt{36+35+9}=\sqrt{70}[/tex]
Puisque BC ≠ CD, le triangle BCD n'est pas isocèle en C.
Par conséquent, le triangle BCD est rectangle en C et non isocèle en C.
[tex]Aire_{BCD}=\dfrac{BC\times CD}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{70}}{2}=\dfrac{\sqrt{350}}{2}=\dfrac{\sqrt{350}}{2}=\dfrac{\sqrt{25\times14}}{2}\\\\\\\boxed{Aire_{BCD}=\dfrac{5\sqrt{14}}{2}}[/tex]
[tex]2)\ a)\ \overrightarrow{n}:(-2;3;1)\\\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BC}=-2\times1+3\times0+1\times2=-2+0+2=0\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BC}}\\\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{CD}=-2\times6+3\times5+1\times(-3)=-12+15-3=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{CD}}[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{CD}[/tex] ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas multiples entre elles.
D'où [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD).
Par conséquent, [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est un vecteur normal du plan (BCD).
b) Soit le point quelconque M(x ; y ; z) appartenant au plan (BCD).
Alors
[tex]\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BM}\Longrightarrow\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BM}=0\\\\\Longrightarrow-2\times(x+1)+3\times(y-1)+1\times(z-0)=0\\\\\Longrightarrow-2x-2+3y-3+z=0\\\\\Longrightarrow\boxed{(BCD):-2x+3y+z-5=0}[/tex]
[tex]3)\ \left\{\begin{matrix}x=x_A+x_n\times t\\y=y_A+y_n\times t\\z=z_A+z_n\times t \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\boxed{(D):\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t \end{matrix}\right.}[/tex]
4) Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\-2x+3y+z-5=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\-2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5=0 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\-10+4t-15+9t+2+t-5=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\14t-28=0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\t=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5-2\times2\\y=-5+3\times2\\z=2+2\\t=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=4\\t=2 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{H(1;1;4)}[/tex]
[tex]5)\ V_{ABCD}=\dfrac{Aire_{BCD}\times AH}{3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{14}}{2}\times\sqrt{(1-5)^2+(1+5)^2+(4-2)^2}}{3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{14}}{2}\times\sqrt{16+36+4}}{3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\sqrt{14}\times\sqrt{56}}{2\times3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\sqrt{14}\times\sqrt{4\times14}}{6}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\sqrt{14}\times2\times\sqrt{14}}{6}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\times2\times14}{6}=\dfrac{140}{6}\\\\\boxed{V_{ABCD}=\dfrac{70}{3}}[/tex]
[tex]6)\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC}\times\cos(\widehat{BAC})\\\\\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}\\\\Or\ \overrightarrow{AB}:(-1-5;1+5;0-2)=(-6;6;-2)\\\\\overrightarrow{AC}:(0-5;1+5;2-2)=(-5;6;0)\\\\\Longrightarrow\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{-6\times(-5)+6\times6-2\times0}{\sqrt{76}\times\sqrt{61}}\\\\\\\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{66}{\sqrt{4636}}}\\\\\\\widehat{BAC}=\cos^{-1}(\dfrac{66}{\sqrt{4636}})[/tex]
[tex]\Longrightarrow\boxed{\widehat{BAC}\approx14,2^o}[/tex]
[tex]1)\ \overrightarrow{BC}:(x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B)=(0+1;1-1;2-0)=(1;0;2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}:(1;0;2)}\\\\\\\overrightarrow{CD}:(x_D-x_C;y_D-y_C;z_D-z_C)=(6-0;6-1;-1-2)=(6;5;-3)\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CD}:(6;5;-3)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=1\times6+0\times5+2\times(-3)\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=6+0-6\\\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{CD}}[/tex]
D'où le triangle BCD est rectangle en C.
Montrons que ce triangle n'est pas isocèle.
[tex]BC=\sqrt{1^2+0^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\\\CD=\sqrt{6^2+5^2+(-3)^2}=\sqrt{36+35+9}=\sqrt{70}[/tex]
Puisque BC ≠ CD, le triangle BCD n'est pas isocèle en C.
Par conséquent, le triangle BCD est rectangle en C et non isocèle en C.
[tex]Aire_{BCD}=\dfrac{BC\times CD}{2}=\dfrac{\sqrt{5}\times\sqrt{70}}{2}=\dfrac{\sqrt{350}}{2}=\dfrac{\sqrt{350}}{2}=\dfrac{\sqrt{25\times14}}{2}\\\\\\\boxed{Aire_{BCD}=\dfrac{5\sqrt{14}}{2}}[/tex]
[tex]2)\ a)\ \overrightarrow{n}:(-2;3;1)\\\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BC}=-2\times1+3\times0+1\times2=-2+0+2=0\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BC}}\\\\\overrightarrow{n}.\overrightarrow{CD}=-2\times6+3\times5+1\times(-3)=-12+15-3=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{CD}}[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{BC}[/tex] et [tex]\overrightarrow{CD}[/tex] ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas multiples entre elles.
D'où [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD).
Par conséquent, [tex]\overrightarrow{n}[/tex] est un vecteur normal du plan (BCD).
b) Soit le point quelconque M(x ; y ; z) appartenant au plan (BCD).
Alors
[tex]\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BM}\Longrightarrow\overrightarrow{n}.\overrightarrow{BM}=0\\\\\Longrightarrow-2\times(x+1)+3\times(y-1)+1\times(z-0)=0\\\\\Longrightarrow-2x-2+3y-3+z=0\\\\\Longrightarrow\boxed{(BCD):-2x+3y+z-5=0}[/tex]
[tex]3)\ \left\{\begin{matrix}x=x_A+x_n\times t\\y=y_A+y_n\times t\\z=z_A+z_n\times t \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\boxed{(D):\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t \end{matrix}\right.}[/tex]
4) Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\-2x+3y+z-5=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\-2(5-2t)+3(-5+3t)+(2+t)-5=0 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\-10+4t-15+9t+2+t-5=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\14t-28=0 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5-2t\\y=-5+3t\\z=2+t\\t=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5-2\times2\\y=-5+3\times2\\z=2+2\\t=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\\z=4\\t=2 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{H(1;1;4)}[/tex]
[tex]5)\ V_{ABCD}=\dfrac{Aire_{BCD}\times AH}{3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{14}}{2}\times\sqrt{(1-5)^2+(1+5)^2+(4-2)^2}}{3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{\dfrac{5\sqrt{14}}{2}\times\sqrt{16+36+4}}{3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\sqrt{14}\times\sqrt{56}}{2\times3}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\sqrt{14}\times\sqrt{4\times14}}{6}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\sqrt{14}\times2\times\sqrt{14}}{6}\\\\V_{ABCD}=\dfrac{5\times2\times14}{6}=\dfrac{140}{6}\\\\\boxed{V_{ABCD}=\dfrac{70}{3}}[/tex]
[tex]6)\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC}\times\cos(\widehat{BAC})\\\\\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}\\\\Or\ \overrightarrow{AB}:(-1-5;1+5;0-2)=(-6;6;-2)\\\\\overrightarrow{AC}:(0-5;1+5;2-2)=(-5;6;0)\\\\\Longrightarrow\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{-6\times(-5)+6\times6-2\times0}{\sqrt{76}\times\sqrt{61}}\\\\\\\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{66}{\sqrt{4636}}}\\\\\\\widehat{BAC}=\cos^{-1}(\dfrac{66}{\sqrt{4636}})[/tex]
[tex]\Longrightarrow\boxed{\widehat{BAC}\approx14,2^o}[/tex]
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