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Bonjour
Cassicocco
a) A l'aide des dérivées.
Montrons que F'(x) = G'(x)
[tex]F'(x)=(\dfrac{x+1}{x-2})'\\\\F'(x)=\dfrac{(x+1)'(x-2)-(x+1)(x-2)'}{(x-2)^2}\\\\F'(x)=\dfrac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}\\\\F'(x)=\dfrac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2}\\\\F'(x)=\dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^2}\\\\\boxed{F'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}}[/tex]
[tex]G'(x)=(\dfrac{-3x+9}{x-2})'\\\\G'(x)=\dfrac{(-3x+9)'(x-2)-(-3x+9)(x-2)'}{(x-2)^2}\\\\G'(x)=\dfrac{-3\times(x-2)-(-3x+9)\times1}{(x-2)^2}\\\\G'(x)=\dfrac{-3x+6+3x-9}{(x-2)^2}\\\\\boxed{G'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}}[/tex]
D'où, F'(x) = G'(x)
Par conséquent, F et G sont deux primitives d'une même fonction f définie par [tex]f(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}[/tex]
b) Algébriquement.
Montrons que les fonctions F et G ne diffèrent entre elles que par une constante.
[tex]F(x)=\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2+3}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=1+\dfrac{3}{x-2}\\\\\Longrightarrow\boxed{F(x)=1+\dfrac{3}{x-2}}\\\\\\G(x)=\dfrac{-3x+9}{x-2}=\dfrac{-3x+6+3}{x-2}=\dfrac{-3(x-2)+3}{x-2}\\\\=\dfrac{-3(x-2)}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=-3+\dfrac{3}{x-2}\\\\\Longrightarrow\boxed{G(x)=-3+\dfrac{3}{x-2}}[/tex]
D'où
[tex]F(x)-G(x)=(1+\dfrac{3}{x-2})-(-3+\dfrac{3}{x-2})\\\\F(x)-G(x)=1+\dfrac{3}{x-2}+3-\dfrac{3}{x-2}\\\\\boxed{F(x)-G(x)=4}\ \ ou\ \ \boxed{F(x)=G(x)+4}[/tex]
Puisque les fonctions F et G ne diffèrent que par la constante 4, ces deux fonctions F et G sont des primitives d'une même fonction.
a) A l'aide des dérivées.
Montrons que F'(x) = G'(x)
[tex]F'(x)=(\dfrac{x+1}{x-2})'\\\\F'(x)=\dfrac{(x+1)'(x-2)-(x+1)(x-2)'}{(x-2)^2}\\\\F'(x)=\dfrac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}\\\\F'(x)=\dfrac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2}\\\\F'(x)=\dfrac{x-2-x-1}{(x-2)^2}\\\\\boxed{F'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}}[/tex]
[tex]G'(x)=(\dfrac{-3x+9}{x-2})'\\\\G'(x)=\dfrac{(-3x+9)'(x-2)-(-3x+9)(x-2)'}{(x-2)^2}\\\\G'(x)=\dfrac{-3\times(x-2)-(-3x+9)\times1}{(x-2)^2}\\\\G'(x)=\dfrac{-3x+6+3x-9}{(x-2)^2}\\\\\boxed{G'(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}}[/tex]
D'où, F'(x) = G'(x)
Par conséquent, F et G sont deux primitives d'une même fonction f définie par [tex]f(x)=\dfrac{-3}{(x-2)^2}[/tex]
b) Algébriquement.
Montrons que les fonctions F et G ne diffèrent entre elles que par une constante.
[tex]F(x)=\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{x-2+3}{x-2}=\dfrac{x-2}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=1+\dfrac{3}{x-2}\\\\\Longrightarrow\boxed{F(x)=1+\dfrac{3}{x-2}}\\\\\\G(x)=\dfrac{-3x+9}{x-2}=\dfrac{-3x+6+3}{x-2}=\dfrac{-3(x-2)+3}{x-2}\\\\=\dfrac{-3(x-2)}{x-2}+\dfrac{3}{x-2}=-3+\dfrac{3}{x-2}\\\\\Longrightarrow\boxed{G(x)=-3+\dfrac{3}{x-2}}[/tex]
D'où
[tex]F(x)-G(x)=(1+\dfrac{3}{x-2})-(-3+\dfrac{3}{x-2})\\\\F(x)-G(x)=1+\dfrac{3}{x-2}+3-\dfrac{3}{x-2}\\\\\boxed{F(x)-G(x)=4}\ \ ou\ \ \boxed{F(x)=G(x)+4}[/tex]
Puisque les fonctions F et G ne diffèrent que par la constante 4, ces deux fonctions F et G sont des primitives d'une même fonction.
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