Bonjour,
Partie A :
1 Le sens de variation de g dépend du signe de sa dérivée g'
g'(x) = 6x²-6x = 6x(x-1)
g'(x) = 0 => x= 0 ou x= 1
Tableau de signe :
x : -∞ 0 1 +∞
6x - 0 + +
(x-1) - - 0 +
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) est croissante sur ]-∞ ; 0[ ∪ ]1 ; + ∞[
g(x) est décroissante sur ]0 ; 1[
2) g(x) est une fonction continue sur |R
g(x) est strictement croissante sur ]-∞ ; 0[ et g(0) = -1 , la courbe représentative de g ne traverse l'axe des abscisses
sur ] 0 : 1[ la fonction est strictement décroissante , la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses et g(1) = -2
sur ]1 ; +[ , la fonction est monotone, strictement croissante
g(2) = 3 il y a changement de signe entre x= 1 et x= 2 : la fonction coupe l'axe des abscisses et une seule fois fois puisqu'elle est monotone
g(x) = 0 admet ainsi une solution unique
Tableau de signe de g(x) :
appelons le point X0 ( x0 ; 0) et 1 < x0 <2
x ∈ ]-∞ ; x0[ g(x) est négative
x ∈ ]x0 ; +∞[ g(x) est positive
g(1,5) = g(3/2) = 2 x (3/2)^3 -3 (3/2)² -1 = 27/4 -27/4 -1 =-1
x : 3/2 x0 2 5
g(x) - + +
g(x) < 0 x ∈ [3/2 ; x0[ , g(x) >0 quand x ∈ ]x0 ; 5] avec 3/2 < x0 < 2
partie B :
f est de la forme u / v, donc f' est de la forme u'v -uv' / v²
avec u (x) = x^3+1, u'(x) =3x² , v(x) = x-1 et v' (x) =1
f'(x) = 3x² (x-1) - (x^3+1) / (x-1)² = 3x^3 -3x² -x^3 -1 / (x-1)²
= 2x^3 -3x² -1 / (x-1)² = g(x) /(x-1)²
2) (x-1)² étant toujours positif, le signe de f'(x) dépend du signe de g(x) :
f'(x) < 0 x ∈ [3/2 ; x0[ , f'(x) >0 quand x ∈ ]x0 ; 5] avec 3/2 < x0 < 2
f(x) est décroissante sur [3/2 ; x0[ et croissante sur ]x0 ; 5] avec 3/2 < x0 < 2
4) la fonction f est convexe si f' est croissante sur l'intervalle donné
la fonction f est concave si f' est décroissante sur l'intervalle donné
Le sens de variation de f' dépend du signe de f"
f"(x) = 2 + 4/(x-1)^3
sur l'intervalle [3/2 ; 5] (x-1)^3 est toujours positif donc f''(x) est positive
f' est strictement croissante et f est convexe sur [ 3/2 ; 5]
