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Bonjour
Yacine931
Question préliminaire :
Soit la fonction f définie sur R par [tex]f(x)=e^x-x-1[/tex]
[tex]f'(x)=e^x-1[/tex]
Signes de f(x) et variations de la fonction f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\f'(x)=e^x-1&&-&0&+&\\f(x)=e^x-x-1&&\searrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Selon le tableau de variations de f, nous pouvons déduire que pour tout x réel : f(x) ≥ 0, soit [tex]e^x-x-1\ge0[/tex], soit [tex]e^x\ge x+1[/tex]
Par conséquent, pour tout x réel : [tex]\boxed{e^x\ge x+1}[/tex]
Exercice 1
[tex]1)\ e^x\ge x+1\Longrightarrow e^1\ge1+1\Longrightarrow\boxed{e\ge2}[/tex]
[tex]2)\ \theta(x)=(x-2)e^x+x+2\\\\\theta'(x)=1\times e^x+(x-2)\times e^x+1+0\\\\\theta'(x)=e^x+xe^x-2e^x+1\\\\\theta'(x)=xe^x-e^x+1\\\\\boxed{\theta'(x)=e^x(x-1)+1}[/tex]
[tex]3)\ \psi(x)=e^x(x-1)+1\\\\\psi'(x)=e^x\times(x-1)+e^x\times1+0\\\\\psi'(x)=xe^x-e^x+e^x\\\\\boxed{\psi'(x)=xe^x}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\\psi'(x)=xe^x&&-&0&+&\\\psi(x)&&\searrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
4) Nous remarquons que [tex]\psi(x)=\theta'(x)[/tex].
De plus, selon le tableau de variation de [tex]\psi[/tex], nous déduisons que [tex]\psi(x)\ge0[/tex] pour tout x réel.
D'où, pour tout x réel, nous avons : [tex]\theta'(x)\ge0[/tex]
Voici le tableau de variations de la fonction [tex]\theta[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\\theta'(x)&&+&0&+&\\\theta(x)&&\nearrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la fonction [tex]\theta[/tex] est croissante sur R.
5) Selon le tableau de variations de la fonction [tex]\theta[/tex], nous avons :
[tex]0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow\theta(x)\ge0\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow(x-2)e^x+x+2\ge0\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow(x-2)e^x\ge-x-2\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow(2-x)e^x\le x+2\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow e^x\le\dfrac{x+2}{2-x}\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow\boxed{e^x\le\dfrac{2+x}{2-x}}[/tex]
Prenons : x = 1
[tex]e^x\le\dfrac{2+x}{2-x}\Longrightarrow e^1\le\dfrac{2+1}{2-1}\Longrightarrow e^1\le\dfrac{3}{1}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{e\le3}[/tex]
Exercice 2
[tex]1)\ (x^n)'=nx^{n-1}\ge0\ \ sur\ \ [0;+\infty[\\\\\Longrightarrow\boxed{x\mapsto x^n\ est\ croissante\ sur\ \ [0;+\infty[}\\\\\\(\dfrac{1}{x^{n+1}})'=\dfrac{-(n+1)}{x^{n+2}}\le0\ \ sur\ \ [0;+\infty[\\\\\Longrightarrow\boxed{x\mapsto\dfrac{1}{x^{n+1}}\ est\ d\acute{e}croissante\ sur\ \ [0;+\infty[}[/tex]
2) a) Prenons x = 1/n dans la relation (I)
[tex]e^x\ge x+1\Longrightarrow e^\frac{1}{n}\ge\dfrac{1}{n}+1\\\\\\e^x\ge x+1\Longrightarrow\boxed{e^\frac{1}{n}\ge1+\dfrac{1}{n}}[/tex]
b) Prenons x = -1/(n+1) dans la relation (I)
[tex]e^x\ge x+1\Longrightarrow e^\frac{-1}{n+1}\ge\dfrac{-1}{n+1}+1\\\\\\e^x\ge x+1\Longrightarrow\boxed{e^\frac{-1}{n+1}\ge1-\dfrac{1}{n+1}}[/tex]
[tex]3)\ u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\e^\frac{1}{n}\ge1+\dfrac{1}{n}\Longrightarrow(e^\frac{1}{n})^n\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\Longrightarrow e^{\frac{1}{n}\times n}\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\\\\Longrightarrow e^1\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\\Longrightarrow e\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\\Longrightarrow e\ge u_n\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}[/tex]
[tex]4)\ e^\frac{-1}{n+1}\ge1-\dfrac{1}{n+1}\Longrightarrow(e^\frac{-1}{n+1})^{n+1}\ge(1-\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\\\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(1-\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(\dfrac{n+1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(\dfrac{n+1-1}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(\dfrac{n}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^1\le(\dfrac{n+1}{n})^{n+1}\\\\\Longrightarrow\boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}[/tex]
[tex]5)\ \boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n}\times(1+\dfrac{1}{n})}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le(1+\dfrac{1}{n})^{n}}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le u_n}[/tex]
Par conséquent, voici un encadrement de Un :
[tex]\boxed{\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le u_n\le e}[/tex]
Par le théorème des comparaisons, nous avons :
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}e\\\\\\\dfrac{e}{1+0}\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le e\\\\\\e\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le e\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=e}[/tex]
Question préliminaire :
Soit la fonction f définie sur R par [tex]f(x)=e^x-x-1[/tex]
[tex]f'(x)=e^x-1[/tex]
Signes de f(x) et variations de la fonction f :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\f'(x)=e^x-1&&-&0&+&\\f(x)=e^x-x-1&&\searrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Selon le tableau de variations de f, nous pouvons déduire que pour tout x réel : f(x) ≥ 0, soit [tex]e^x-x-1\ge0[/tex], soit [tex]e^x\ge x+1[/tex]
Par conséquent, pour tout x réel : [tex]\boxed{e^x\ge x+1}[/tex]
Exercice 1
[tex]1)\ e^x\ge x+1\Longrightarrow e^1\ge1+1\Longrightarrow\boxed{e\ge2}[/tex]
[tex]2)\ \theta(x)=(x-2)e^x+x+2\\\\\theta'(x)=1\times e^x+(x-2)\times e^x+1+0\\\\\theta'(x)=e^x+xe^x-2e^x+1\\\\\theta'(x)=xe^x-e^x+1\\\\\boxed{\theta'(x)=e^x(x-1)+1}[/tex]
[tex]3)\ \psi(x)=e^x(x-1)+1\\\\\psi'(x)=e^x\times(x-1)+e^x\times1+0\\\\\psi'(x)=xe^x-e^x+e^x\\\\\boxed{\psi'(x)=xe^x}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\\psi'(x)=xe^x&&-&0&+&\\\psi(x)&&\searrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
4) Nous remarquons que [tex]\psi(x)=\theta'(x)[/tex].
De plus, selon le tableau de variation de [tex]\psi[/tex], nous déduisons que [tex]\psi(x)\ge0[/tex] pour tout x réel.
D'où, pour tout x réel, nous avons : [tex]\theta'(x)\ge0[/tex]
Voici le tableau de variations de la fonction [tex]\theta[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&0&&+\infty\\\theta'(x)&&+&0&+&\\\theta(x)&&\nearrow&0&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la fonction [tex]\theta[/tex] est croissante sur R.
5) Selon le tableau de variations de la fonction [tex]\theta[/tex], nous avons :
[tex]0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow\theta(x)\ge0\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow(x-2)e^x+x+2\ge0\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow(x-2)e^x\ge-x-2\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow(2-x)e^x\le x+2\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow e^x\le\dfrac{x+2}{2-x}\\\\0\le x\ \textless \ 2\Longrightarrow\boxed{e^x\le\dfrac{2+x}{2-x}}[/tex]
Prenons : x = 1
[tex]e^x\le\dfrac{2+x}{2-x}\Longrightarrow e^1\le\dfrac{2+1}{2-1}\Longrightarrow e^1\le\dfrac{3}{1}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{e\le3}[/tex]
Exercice 2
[tex]1)\ (x^n)'=nx^{n-1}\ge0\ \ sur\ \ [0;+\infty[\\\\\Longrightarrow\boxed{x\mapsto x^n\ est\ croissante\ sur\ \ [0;+\infty[}\\\\\\(\dfrac{1}{x^{n+1}})'=\dfrac{-(n+1)}{x^{n+2}}\le0\ \ sur\ \ [0;+\infty[\\\\\Longrightarrow\boxed{x\mapsto\dfrac{1}{x^{n+1}}\ est\ d\acute{e}croissante\ sur\ \ [0;+\infty[}[/tex]
2) a) Prenons x = 1/n dans la relation (I)
[tex]e^x\ge x+1\Longrightarrow e^\frac{1}{n}\ge\dfrac{1}{n}+1\\\\\\e^x\ge x+1\Longrightarrow\boxed{e^\frac{1}{n}\ge1+\dfrac{1}{n}}[/tex]
b) Prenons x = -1/(n+1) dans la relation (I)
[tex]e^x\ge x+1\Longrightarrow e^\frac{-1}{n+1}\ge\dfrac{-1}{n+1}+1\\\\\\e^x\ge x+1\Longrightarrow\boxed{e^\frac{-1}{n+1}\ge1-\dfrac{1}{n+1}}[/tex]
[tex]3)\ u_n=(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\e^\frac{1}{n}\ge1+\dfrac{1}{n}\Longrightarrow(e^\frac{1}{n})^n\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\Longrightarrow e^{\frac{1}{n}\times n}\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\\\\Longrightarrow e^1\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\\Longrightarrow e\ge(1+\dfrac{1}{n})^n\\\\\Longrightarrow e\ge u_n\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}[/tex]
[tex]4)\ e^\frac{-1}{n+1}\ge1-\dfrac{1}{n+1}\Longrightarrow(e^\frac{-1}{n+1})^{n+1}\ge(1-\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\\\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(1-\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(\dfrac{n+1}{n+1}-\dfrac{1}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(\dfrac{n+1-1}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^{-1}\ge(\dfrac{n}{n+1})^{n+1}\\\\\Longrightarrow e^1\le(\dfrac{n+1}{n})^{n+1}\\\\\Longrightarrow\boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}[/tex]
[tex]5)\ \boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n+1}}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{e\le(1+\dfrac{1}{n})^{n}\times(1+\dfrac{1}{n})}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le(1+\dfrac{1}{n})^{n}}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n\le e}\ \ et\ \ \boxed{\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le u_n}[/tex]
Par conséquent, voici un encadrement de Un :
[tex]\boxed{\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le u_n\le e}[/tex]
Par le théorème des comparaisons, nous avons :
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{e}{1+\dfrac{1}{n}}\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}e\\\\\\\dfrac{e}{1+0}\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le e\\\\\\e\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le e\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=e}[/tex]
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