Bonjour
Oceean
1) L'évolution de la présence du médicament dans le sang découle du tableau de variations de la fonction f.
[tex]f(t)=q(e^{-0,5t}-e^{-t})\\\\f'(t)=q(-0,5e^{-0,5t}+e^{-t})\\\\f'(t)=qe^{-t}(-0,5e^{0,5t}+1)\\\\\boxed{f'(t)=qe^{-t}(1-0,5e^{0,5t})}\\\\f'(t)\ge0\Longleftrightarrow qe^{-t}(1-0,5e^{0,5t})}\ge0\Longleftrightarrow1-0,5e^{0,5t}}\ge0\\\\\Longleftrightarrow0,5e^{0,5t}}\le1\Longleftrightarrow e^{0,5t}}\le2\Longleftrightarrow0,5t\le\ln2\Longleftrightarrow t\le2\ln2\\\\\Longleftrightarrow t\le\ln4\\\\\\D'o\grave{u}\ :\ \boxed{f'(t)\ge0\Longleftrightarrow t\le\ln4}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} t&0&&\ln4\approx1,4&&+\infty\\f'(t)&&+&0&-&\\f(t)&0&\nearrow&\frac{q}{4}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, la quantité de médicament présente dans le sang augmente depuis l'injection jusqu'à environ 1,4 seconde après l'injection pour diminuer ensuite.
b) La quantité maximale de médicament est égale au quart de la quantité injectée.
2) Résolvons l'équation [tex]\dfrac{q}{4}\ \textless \ 2,6[/tex]
[tex]q\ \textless \ 4\times2,6\\\\q\ \textless \ 10,4[/tex]
Or q ≥ 0.
Par conséquent, [tex]\boxed{0\le q\ \textless \ 10,4}[/tex]
3) En pièce jointe, le graphique de la fonction définie par [tex]f(t)=10(e^{-0,5t}-e^{-t})[/tex]
Nous voyons que l'intervalle dans lequel le médicament est efficace est l'intervalle [0,3 ; 3,9], soit entre 0,3 heure et 3,9 heures, soit encore entre 18 minutes et 3 h 54 min.
