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résolu

Bonjour, besoin d'aide pour deux petites questions :
Soit g la fonction définie sur R par g(x)=4x²-3x-1

1) Vérifier que g(x)=4(x-3/8^)²-25/16
2)Justifier que, pour tout x ∈ ]-infini;1/4]∪[1;+infini[ g(x) ≥ 0 et pour tout x ∈ [-1/4;1], g(x) ≤ 0.

Merci d'avance pour votre aide !

Répondre :

ANYLORVIZ
bonjour

on développe
g(x)=4 (x-3/8)² - 25/16

g(x) = 4( x² + 6x / 8 + 9/64 ) - 25 /16
= 4x² + 6x/2 +9/16 -25/16
= 4x² + 3x   +9/16  -25/16
=4x² +3x -16/16
=4x² +3x -1
= g(x)

si tu es en première 
tu peux factoriser 4x² -3x -1  avec la méthode du discriminant
Δ=25=5²
x1 =(-b-√Δ) /2a 
= (3-5) /8  
= -2/8 = -1/4

x2 =(-b+√Δ) /2a 
= (3+5) /8  
= 8/8 = 1

donc d'après le théorème du signe du polynôme

4x² -3x -1  est du signe positif à l'extérieur des racines
( car a est positif, et le polynôme est du signe de a   à l'extérieur des racines )

et négatif à l'intérieur des racines   ( réciproquement)

donc g(x)  ≥  0            si   x ∈ ]-∞;  -1/4]∪[1;+∞[   
et g(x) ≤ 0  si                 x ∈[-  1/4  ; 1]

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