1)On remplace n par 1 puis 2 puis 3 puis 4 on a alors :
[tex]u_{1} = \frac{1}{1^{2}} = 1[/tex]
[tex]u_{2} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} = 1 +\frac{1}{4} = \frac{5}{4}[/tex]
[tex]u_{3} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} = 1 +\frac{1}{4} + \frac{1}{9}= \frac{49}{36}[/tex]
[tex]u_{4} = u_{4} + \frac{1}{4^{2}} = \frac{49}{36} + \frac{1}{16}= je te laisse faire le calcul[/tex]
2)On a :
Un+1-Un = somme de 1 a n+1 des 1/k² - somme de 1 a n des 1/k² = 1/(n+1)² car tous les termes se simplifient sauf le dernier de la premiere somme
Or 1/(n+1)² est strictement positif car la fonction carrée est positive donc Un+1>Un donc la suite est croissante
3)[tex]\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} = \frac{k}{k(k-1)} - \frac{k-1}{k(k-1)} = \frac{k-k+1}{k(k-1)} = \frac{1}{k(k-1)}[/tex] Donc la tu repars dans l'autre sens, je m'explique :
on a [tex]k \geq k-1[/tex] je multiplie par k comme k est positif ca ne modifie pas le sens de mon inequation j'ai donc :
[tex]k^{2} \geq k(k-1)[/tex]
Je passe a l'inverse (j'ai le droit car k est supérieur ou égal a 2), or la fonction inverse est décroissante je modifie donc le sens de mon inequation :
[tex]\frac{1}{k^{2}} \leq frac{1}{k(k-1)}[/tex] or on a montré juste avant que [tex]\frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}[/tex]
Tu remplaces tu as donc l'inegalite souhaitée
3) Ici c'est très simple la somme a droite de l'inequation est une somme dite telescopique en effet, les termes se compenseront entre eux regarde par exemple pour les 2 premiers termes(k supérieur a 2) on a : 1/(2-1) - 1/2 + 1/(3-1) - 1/3 = 1 -1/2 +1/2 -1/3 = 1 et au final tous les termes se simplifieront sauf le premier donc si je passe a la somme a gauche j'obtiens Un - 1 (car je commence a 2 il faut donc rajouter le premier terme qui est 1/1 = 1) et a droite on a donc dis tous les termes se simplifient sauf le premier donc 1 j'ai donc au final [tex]U_{n} - 1 \leq 1 <=> U_{n} \leq 2[/tex] Tu as donc ce que tu voulais
5) Tu as que Un est croissante et inférieure a 2 elle converge donc.
Remarque : Un lorsque l'on fait tendre n vers l'infini est ce que l'on appelle une série de Riemman, celle ci est très connue car elle tend vers une valeur improbable [tex]\frac{\pi^{2}}{6}[/tex]
Remarque 2 : Je suppose que tu es en terminale, le prof qui vous a filé veut très certainement que vous reussissiez ce n'est pas un exercice simple pour une personne qui n'en a pas vu des similaires avant. Donc accroche toi fort et tu pourras esperer avoir une bonne prepa puis une bonne école
