Bonjours
Turcoyusuf
La partie A n'est pas présente sur la pièce jointe.
Partie B
1) Calcul de l'aire S(x) du carré MNPQ.
D'une part,
S(x) = MN²
D'autre part, par Pythagore dans le triangle MBN rectangle en B,
[tex]MN^2=MB^2+BN^2\\\\MN^2=(20-x)^2+x^2\\\\MN^2=400-40x+x^2+x^2\\\\MN^2=2x^2-40x+400[/tex]
On en déduit alors que [tex]\boxed{S(x)=2x^2-40x+400}[/tex]
[tex]2)\ S(x)\ \textgreater \ 272\\\\\Longleftrightarrow2x^2-40x+400\ \textgreater \ 272\\\\\Longleftrightarrow2x^2-40x+400-272\ \textgreater \ 0\\\\\Longleftrightarrow2x^2-40x+128\ \textgreater \ 0[/tex]
3) Il faut résoudre l'inéquation 2x² - 40x + 128 > 0
Or nous avons :
[tex]2x^2-40x+128\ \textgreater \ 0\\\\2x^2-32x-8x+128\ \textgreater \ 0\\\\(2x^2-32x)-(8x-128)\ \textgreater \ 0\\\\2x(x-16)-8(x-16)\ \textgreater \ 0\\\\(2x-8)(x-16)\ \textgreater \ 0[/tex]
Tableau de signes de (2x-8)(x-16) dans l'intervalle [0;20]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&4&&16&&20\\2x-8&&-&0&+&+&+&\\x-16&&-&-&-&0&+&\\(2x-8)(x-16)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\(2x-8)(x-16)\ \textgreater \ 0\Longleftrightarrow x\in[0;4[\cup]16,20][/tex]
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est [tex]\boxed{S=[0;4[\ \cup\ ]16,20]}[/tex]
Par conséquent,
l'aire du carré MNPQ dépasse 272 m² si 0 ≤ x < 4 ou 16 < x ≤ 20
