Je note ->CD pour dire le vecteur CD.
2) Les coordonnées du milieu E d'un segment [AC] avec A(x;y) et C(x';y') est E( (x+x')/2 ; (y+y')/2 )
Donc les coordonnées de E sont [tex] x_{E} [/tex] = (7-2)/2 = 5/2 et [tex] y_{E} [/tex] = (-3+5)/2 = 1
Donc le point E a pour coordonnées E(5/2 ; 1)
3) Pour calculer la distance AC, il faut calculer la norme du vecteur ->AC.
Pour ce faire, il faut les coordonnées de ->AC :
[tex] x_{->AC} [/tex] = -2-7 = -9 et [tex] y_{->AC} [/tex] = 5-(-3) = 5+3 = 8
Donc ->AC a pour coordonnées ->AC(-9 ; 8)
Donc AC = ∥->AC∥ = √( (-9)²+8² ) = √145 ≈ 12,04
4) A priori, le triangle est rectangle en B. Pour montrer cela, il faut utiliser la réciproque du Théorème de Pythagore :
On a AC² = (√145)² = 145
Et AB²+BC² = (5√5)²+(2√5)² = 25×5 + 4×5 = 125 + 20 = 145
Donc AC²=AB²+BC² c'est-à-dire que, selon la réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
5) D est le symétrique de B par rapport au point E. On sait donc que E est le milieu du segment [BD].
On sait donc que [tex] x_{E} [/tex] = ( [tex] x_{B} [/tex] + [tex] x_{D} [/tex] )/2 et [tex] y_{E} [/tex] = ( [tex] y_{B} [/tex] + [tex] y_{D} [/tex] )/2
On remplace grâce aux coordonnées que l'on connaît :
Pour xD, on a : 5/2 = (2+ [tex] x_{D} [/tex] )/2
5 = 2+ x[tex] x_{D} [/tex]
[tex] x_{D} [/tex] = 5-2 = 3
Et pour [tex] y_{D} [/tex], on a : 1 = (7+ [tex] y_{D} [/tex] )/2
2 = 7+ [tex] y_{D} [/tex]
[tex] y_{D} [/tex] = 2-7 = -5
Donc les coordonnées de D sont D(3 ; -5)
6) Le quadrilatère ABCD est un rectangle si et seulement si :
->AB = ->DC et AC=BD, c'est-à-dire que ses côtés opposés sont égaux et ses diagonales sont égales.
On calcule les coordonnées de ->AB et de ->DC :
[tex] x_{->AB} [/tex] = 2-7 = -5 et [tex] y_{->AB} [/tex] = 7-(-3) = 7+3 = 10 donc le vecteur ->AB a pour coordonnées ->AB(-5 ; 10)
[tex] x_{->DC} [/tex] = -2-3 = -5 et [tex] y_{->DC} [/tex] = 5-(-5) = 5+5 = 10 donc le vecteur ->DC a pour coordonnées ->DC(-5 ; 10)
Le vecteur ->AB et le vecteur ->DC ayant les mêmes coordonnées, on peut écrire ->AB=->DC
On sait que AC = √145
Il faut donc calculer BD, pour vérifier que AC=BD
On fait comme pour calculer AC :
[tex] x_{->BD} [/tex] = 3-2 = -1 et [tex] y_{->BD} [/tex] = -5-7 = -12
Donc BD = ∥->BD∥ = √( (-1)²+(- 2)² ) = √145
Donc AC=BD
On a donc les relations ->AB = ->DC et AC=BD, donc le quadrilatère ABCD est donc bien un rectangle.
