Bonsoir ;
Je rectifie une erreur qui s'est glissée dans votre énoncé :
V(n)=(U(1)+..................+U(n))/n pour tout n de N* .
Pour commencer , la suite V(n) est la suite de Césaro de la suite U(n).
Calculons V(n+1) - V(n) :
Notons tout d'abord S la somme U(1)+..................+U(n) ,
donc V(n) = (U(1) + .............. + U(n))/n = S/n
et V(n+1) = (U(1) + .............. + U(n) + U(n+1))/(n+1) = (S + U(n+1))/(n+1) ,
donc V(n+1) - V(n) = (S + U(n+1))/(n+1) - S/n
= (nS + nU(n+1) - (n+1)S)/(n(n+1))
= (nU(n+1) - S)/(n(n+1)) : on utilisera que nU(n+1) = U(n+1) + ..+ U(n+1) n fois.
= (U(n+1) + ............ + U(n+1) - S)/(n(n+1))
= (U(n+1) + ............ + U(n+1) - U(1) - ....... - U(n))/(n(n+1))
= ((U(n+1) - U(1)) + ....... + (U(n+1) - U(n))/(n(n+1))
Puisque U(n) est croissante donc pour tout k de {1 ; ... ; n} : U(n+1) - U(k)≥0 ,
donc ((U(n+1) - U(1)) + ....... + (U(n+1) - U(n))/(n(n+1)) ≥ 0
donc V(n+1) - V(n) ≥ 0
donc V(n) est croissante .
