bonjour
1)
résoudre f(x) > 0
comme on est dans R+* x est toujours positif
signe du numérateur
2lnx +4 > 0
2lnx >-4
lnx > -4/2
lnx> -2 donc x >e^-2
solution de f(x) > 0
] e^-2 ; +∞[
2)
dérivée
on pose
u = 2lnx + 4 u' = 2× 1/x = 2/x
V= x v' = 1
dérivée de f
= u'v-uv' / v²
= (2x/x - (2lnx +4) ×1)/x²
= (2-2lnx -4)/x²
= (-2 lnx - 2) / x²
f'(x) =(-2 lnx - 2) / x²
3)
signe de la dérivée
x² >0
-2 lnx -2 ≥ 0
-2ln x ≥ 2
lnx ≥ -2/2
lnx ≥ -1 => x ≥ e ^-1
la dérivée de f est positive ou nulle pour x≥e^-1
voir tableau de variations joint
4)
équation de la tangente en xo = 1
y = f(xo) + f '(xo) (x -xo)
f(1) = (2 ln(1) +4) / 1
= 4
f'( 1) = (-2 ln (1) - 2) / 1²
= -2
on remplace dans la formule
y = 4 -2 (x - 1) = 4 -2x +2
y = -2x - 6
5)
voir fichier joint
