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résolu

Bonsoir je n'arrrive vraiment pas à cette exercice pouvez-vous m'aidez merci d'avance

Soit un carré ABCD de côté 5 .on dessine au quartre coins des carrés de côté x et on s'intéresse à l'aire coloriée A(x) formée de La Réunion de ces quatre carrés et au carrés intérieur EFGH

1) montrer par un raisonnement géométrique que A(x) peut s'écrire sous l'une des formes suivante : A(x)=4x^+(5-2x)^ ou A(x)=25-4x(5-2x)


2) montrer que l'on aussi : A(x)=8x^-20x+25


3 ) en utilisant la forme la plus adaptée calculer A(2,5) et À( racine carré de 3)

4) à ) montrer que A(x) =8( x-5/4)^ +12,5

B ) en déduire que l'air minimale est obtenue pour x=5/4 et donner cette aire minimal

5) à) montrer que A(x)=(2x-1)(4x-8)+17

B) déterminer les valeurs de x tels que A(x)=17

Bonsoir Je Narrrive Vraiment Pas À Cette Exercice Pouvezvous Maidez Merci Davance Soit Un Carré ABCD De Côté 5 On Dessine Au Quartre Coins Des Carrés De Côté X class=

Répondre :

SYOGIERVIZ
Bonjour,
1)Un petit carré de x de coté, fait une aire de x². Il y en a 4 donc l'aire des 4 petits carrés fait : 4x²
Le carré intérieur EFGH fait 5-2x de côté, donc son aire = (5-2x)²
A(x) = 4x² +(5-2x)² = 4x²+25+4x²-20x =25+4x²+4x²-20x =25 +4x(x+x-5) =25+4x(2x-5) = 25-4x(5-2x)
2) A(x) =4x²+25+4x²-20x = 8x²-20x+25
3) A(2,5) =A(5/2) = 25 -4*5/2(5-2*5/2) =25
A(√3) = 8*√3² -20√3 +25 = 24+25-20√3 = 49-20√3 ≈ 14,36
4) cette écriture est la forme canonique :
8x² -20x +25 = 8(x²-5/2x)+25
avec x²-5/2x , on a les deux premiers membres d'une expression développée d'un carré sous la forme (a-b)² = a² -2ab +b²  avec a² = x² , donc a=x et
-2ab =-5/2x => -2xb = -5/2x => -2b =-5/2 => b= 5/4, ce qui donne (x-5/4)² =x²-5/2x +25/16
donc A(x) =8(x-5/4)² - 25*8 /16 +25 = 8(x-5/4)² -25/2 +25 = 8(x-5/4)² +25/2
De la forme canonique A(x) = a(x-α) +β on peut identifier l'extremum de la fonction, ici un minimum qui est M (α ; β)
le minimum est M(5/4 ; 25/2) : si x= 5/4, la surface A est minimale avec 12,5
5) A(x) = (2x-1)(4x-8)+17 =8x²-16x-4x+8+17 = 8x²-20x +25
A(x) =17 si 2x-1 =0 ou 4x-8 =0 => x=1/2 ou x=2
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