Bonjour
Noirat2000
Pour que l'inéquation x²+ax+4≤0 n'ait pas de solution, il suffit que le discriminant Δ soit négatif.
En effet, si Δ < 0, alors le trinôme x²+ax+4 est toujours du signe du coefficient de x² qui est positif.
Donc nous aurons x² + ax + 4 > 0 pour tous les réels x.
Cela montrerait que l'inéquation x² + ax + 4 ≤ 0 n'a pas de solution.
Donc
[tex]\Delta\ \textless \ 0\Longleftrightarrow a^2-4\times1\times4\ \textless \ 0\Longleftrightarrow a^2-16\ \textless \ 0\Longleftrightarrow (a-4)(a+4) \ \textless \ 0[/tex]
Tableau de signe du produit (a-4)(a+4)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} a&-\infty&&-4&&4&&+\infty\\a-4&&-&-&-&0&+&\\a+4&&-&0&+&+&+&\\(a-4)(a+4)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\(a-4)(a+4)\ \textless \ 0\Longleftrightarrow a\in\ ]-4\ ;\ 4[[/tex]
Par conséquent,
l'ensemble des valeurs de a telles que l'inéquation: x²+ax+4≤0 n'a pas de solution est l'intervalle ]-4 ; 4[.
Cet intervalle représente l'ensemble des valeurs de a telles que -4<a<4.
