Bonjour,
1) f₃ = fréquence du la₃= 440 Hz
a) f₂ = 440/2 = 220 Hz et f₁ = 110 Hz
⇒ fn = 110 x 2ⁿ⁻¹ ou fn = 440 x 2ⁿ⁻³
(fn) est une suite géométrique de premier terme f₁=110 et de raison 2.
b) 440 x 2ⁿ⁻³ > 20000
⇔ 2ⁿ⁻³ > 20000/440
⇒ ln(2ⁿ⁻³) > ln(1000/11) (car ln est croissante sur ]0,+∞[
⇔ (n - 3)ln(2) > ln(1000/11)
⇒ n > ln(1000/11)/ln(2) + 3
soit n > 9,5 (n étant un entier, n > 9)
On en déduit que le La le plus aigu audible est le La₉, donc du 9ème octave.
2) a) q¹² = 2 ⇒ q = 2¹/¹²
⇒ log(q) = 1/12 x log(2)
b) f₁ > f₂
f₁ → Do
f₂ → Mi
Entre ces 2 notes du même octave, il y a 4 demi-tons. Donc pour passer de f₁ à f₂, la fréquence a été multipliée 4 fois par q.
Donc f₂ = f₁ x q⁴
soit f₁/f₂ = 1/q⁴ = q⁻⁴
⇒ 1000log(f₁/f₂) = 1000log(q⁻⁴)
= -4000log(q)
= -4000 x log(2)/12
= -1000/3 x log(2)
soit environ -100 savarts
