a) Voir fichier joint
b) Les droites (DE) et (AB) sont parallèles si les vecteurs DE et AB sont colinéaires.
(Je ne peux pas mettre les traits sur les vecteurs donc le vecteur AB sera noté AB)
Vérifions qu'il existe k tels que DE = k*AB.
DE = DI + IE
DE = IE-ID
DE = 1/2 * IB - 1/2* IA
DE = 1/2 (IB-IA)
DE = 1/2 (AI+IB)
DE = 1/2 * AB
Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.
c) Un triangle équilatérale à trois côtés de même longueur.
On sait que DE = 1/2*AB (question b)
EF = EI +IF
EF = IF - IE
EF = 1/2 * IC - 1/2 * IB
EF = 1/2(IC-IB)
EF = 1/2 (BI+IC)
EF = 1/2 * BC
donc les droites (BC) et (EF) sont //
DF = DI + IF
DF = IF - ID
DF = 1/2 * IC - 1/2 * IA
DF = 1/2(IC-IA)
DF = 1/2(AI+IC)
DF = 1/2 * AC
donc les droites (AC) et (DF) sont //
Or AB = AC = BC donc DE = EF = DF = 1/2*AC
Le triangle est équilatéral
