Bonjour
Nathfm
[tex]a)\ \overrightarrow{AB}:(4;6)\\\\\overrightarrow{AC}:(-6;4)\\\\\overrightarrow{BC}:(-10;-2)[/tex]
[tex]b)\ AB=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AB}})^2+(y_{\overrightarrow{AB}})^2}\\\\AB=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}\\\\\boxed{AB=\sqrt{52}}\\\\\\\\AC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{AC}})^2+(y_{\overrightarrow{AC}})^2}\\\\AC=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}\\\\\boxed{AC=\sqrt{52}}\\\\\\\\BC=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BC}})^2+(y_{\overrightarrow{BC}})^2}\\\\BC=\sqrt{(-10)^2+(-2)^2}=\sqrt{100+4}\\\\\boxed{BC=\sqrt{104}}[/tex]
c) Selon la réciproque du triangle de Pythagore, le triangle ABC sera rectangle en A si AB² + AC² = BC².
Or
[tex]AB^2+AC^2=(\sqrt{52})^2+(\sqrt{52})^2\\\\AB^2+AC^2=52+52\\\\AB^2+AC^2=104\\\\AB^2+AC^2=(\sqrt{104})^2\\\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Puisque AB² + AC² = BC², selon la réciproque du triangle de Pythagore, le triangle ABC sera rectangle en A.
d) Le centre K du cercle circonscrit au triangle rectangle ABC est le milieu de l'hypoténuse [BC].
[tex](x_K;y_K)=(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2})\\\\(x_K;y_K)=(\dfrac{7-3}{2};\dfrac{4+2}{2})\\\\(x_K;y_K)=(\dfrac{4}{2};\dfrac{6}{2})\\\\\\\boxed{(x_K;y_K)=(2;3)}[/tex]
Par conséquent, les coordonnées du point K sont (2 ; 3).
2) puisque les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] sont orthogonaux, nous avons :
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\sqrt{52}\times \sqrt{52}\times\cos(\dfrac{\pi}{2})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\sqrt{52}\times \sqrt{52}\times0\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0}[/tex]
Nous aurions également pu calculer ce produit scalaire en utilisant des coordonnées de ces vecteurs.
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}}\\\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=4\times(-6)+6\times4\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-24+24\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0}[/tex]
