Bonjour ;
1) Pour A1 :
On a : x > 1/2 donc 2x > 1 donc 2x - 1 > 0 .
On a aussi : x > 1/2 donc x + 2 > 5/2 > 0 .
Donc (2x - 1)/(x + 2) > 0 pour x > 1/2 ,
donc Ln((2x - 1)/(x + 2)) est définie pour x > 1/2 .
Comme on a pour tous réels "a" et "b" strictement positifs :
Ln(a/b) = Ln(a) - Ln(b) , alors :
pour x > 1/2 on a : Ln((2x - 1)/(x + 2)) = Ln(2x - 1) - Ln(x + 2) .
Pour A2 :
On a (Ln((2x - 1)/(x + 2))) ' = (Ln(2x - 1) - Ln(x + 2))'
= 2/(2x - 1) - 1/(x + 2) = (2x + 4 - 2x + 1)/((x + 2)(2x - 1))
= 5/((x + 2)(2x - 1)) > 0 pour x > 1/2 car on a (x + 2) et (2x - 1) tous les deux strictement positifs pour x > 1/2 ,
donc f est strictement croissante pour x > 1/2 .
Pour A3 :
On a : f ' (3) = 5/25 = 1/5 = 0,2 et f(3) = Ln(5/5) = Ln(1) = 0 ,
donc : 0,2 = y/(x - 3) donc y = 0,2(x - 3) .
Pour A4 :
f(x) = 0 ⇒ Ln((2x - 1)/(x + 2)) = 0 ⇒ (2x - 1)/(x + 2) = 1
⇒ 2x - 1 = x + 2 ⇒ x = 3 ,
cette solution est unique car f est continue et strictement croissante pour x > 1/2 ,
donc bijective .
Pour A5 :
f(x) = 2 ⇒ Ln((2x - 1)/(x + 2)) = 2 ⇒ (2x - 1)/(x + 2) = 2
⇒ 2x - 1 = 2x + 4 ⇒ -1 = 4 : résultat absurde , donc l'équation n'a pas de solutions .
