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Bonjour,
Je te laisse le soins de tracer la figure en vraie grandeur, je pense que c'est dans tes compétences.
2) Démontrer que les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.
Dans le triangle HKJ, le plus grand côté est [JK]
D'une part JK² = 4² = 16
D'autre part, HK² = 2,4² = 5,76 et HJ² = 3,2² = 10,24
HK² + HJ² = 16
On peut en déduire que JK² = HK² + HJ²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HKJ est rectangle en H.
Puisque les points I, H et K sont alignés, alors les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.
3) Démontrer que IH = 6 cm.
Dans le triangle IJH rectangle en H, utilisons le théorème de Pythagore :
IJ² = IH² + JH²
6,8² = IH² + 3,2²
46,24 = IH² + 10,24
46,24 - 10,24 = IH²
√36 = IH
IH = 6
La mesure de IH est de 6 cm.
4) Calculer la mesure de l’angle HJK, arrondie au degré.
Dans le triangle HJK, rectangle en HA, utilisons la trigonométrie.
Sin angle HJK = 2,4 / 4
Sin Angle HJK = 0,6
la calculatrice affiche Arcsin(0,6) = 36,869
La mesure de l'angle HJK ≈ 37°
5) La parallèle à (IJ) passant par K coupe (JH) en L. Compléter la figure.
C'est à toi de t'y coller... Place le point L sur le prolongement de la demi droite [JH) et (KL) // (JI)
6) Expliquer pourquoi LK = 0,4× IJ.
Dans les triangles IJH et KHL :
- H appartient à [LJ] et H appartient à [IK] d'une part
et (JK) // (IJ) d'autre part
Utilisons le théorème de Thalès et posons les rapports suivants :
HK / HI = LK / IJ = HL / HK
Je remplace par les valeurs connues :
donc 2,4 / 6 = LK / IJ
(donc 2,4 / 6 = LK / 6,8)
Produit en croix :
LK = (2,4 × IJ) / 6
LK = (2,4 / 6) × IJ
Par conséquent LK = 0,4 × IJ
Pour info la mesure de LK est de ≈ 2,72 cm (pense à vérifier sur la figure si tel est le cas).
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Exercice 2
1) Calculer la longueur JB.
Dans le triangle JAB rectangle en A, on utilise le théorème de Pythagore pour calculer JB.
JB² = AJ² + AB²
JB² = 18² + 7,5²
JB² = 324 + 56,25
JB = √380,25
JB = 19,5
La mesure de JB est de 19,5 m
2) Montrer que AC est égal à 5,4 m
Dans les deux triangles AJC et MJU on a :
- Les droites (MU) et (AC) qui sont parallèles
- Le point M qui appartient au segment [AJ] et le point U qui appartient au segment [CJ].
Par conséquent, nous sommes en configuration du théorème de Thalès, on peut poser les rapports de proportionnalité suivants :
JA / JM = AC / MU = JC / JU
Je remplace par les valeurs que je connais :
JA / JM = 18 / 10 et AC / MU = AC / 3
Je fais le produite en croix :
AC = (18 × 3) / 10
AC = 54 / 10
AC = 5,4
La mesure de AC est bien 5,4 m
3) Calculer l'aire du triangle JCB
On a le point C qui appartient au segment [AB]. Calculons [CB] :
CB = 7,5 - 5,4
CB = 2,1
La mesure de CB est de 2,1 m
Prenons [JA] comme la hauteur du triangle JCB issue de J
Et calculons l'aire d'un triangle = (Base × hauteur ) / 2
Aire de JCB = (CB × AJ) / 2
Aire de JCB = (2,1 × 18) / 2
Aire de JCB = 37,8 / 2
Aire de JCB = 18,9
L'aire du triangle JCB est de 18,9 m²
Je te laisse le soins de tracer la figure en vraie grandeur, je pense que c'est dans tes compétences.
2) Démontrer que les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.
Dans le triangle HKJ, le plus grand côté est [JK]
D'une part JK² = 4² = 16
D'autre part, HK² = 2,4² = 5,76 et HJ² = 3,2² = 10,24
HK² + HJ² = 16
On peut en déduire que JK² = HK² + HJ²
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle HKJ est rectangle en H.
Puisque les points I, H et K sont alignés, alors les droites (IK) et (JH) sont perpendiculaires.
3) Démontrer que IH = 6 cm.
Dans le triangle IJH rectangle en H, utilisons le théorème de Pythagore :
IJ² = IH² + JH²
6,8² = IH² + 3,2²
46,24 = IH² + 10,24
46,24 - 10,24 = IH²
√36 = IH
IH = 6
La mesure de IH est de 6 cm.
4) Calculer la mesure de l’angle HJK, arrondie au degré.
Dans le triangle HJK, rectangle en HA, utilisons la trigonométrie.
Sin angle HJK = 2,4 / 4
Sin Angle HJK = 0,6
la calculatrice affiche Arcsin(0,6) = 36,869
La mesure de l'angle HJK ≈ 37°
5) La parallèle à (IJ) passant par K coupe (JH) en L. Compléter la figure.
C'est à toi de t'y coller... Place le point L sur le prolongement de la demi droite [JH) et (KL) // (JI)
6) Expliquer pourquoi LK = 0,4× IJ.
Dans les triangles IJH et KHL :
- H appartient à [LJ] et H appartient à [IK] d'une part
et (JK) // (IJ) d'autre part
Utilisons le théorème de Thalès et posons les rapports suivants :
HK / HI = LK / IJ = HL / HK
Je remplace par les valeurs connues :
donc 2,4 / 6 = LK / IJ
(donc 2,4 / 6 = LK / 6,8)
Produit en croix :
LK = (2,4 × IJ) / 6
LK = (2,4 / 6) × IJ
Par conséquent LK = 0,4 × IJ
Pour info la mesure de LK est de ≈ 2,72 cm (pense à vérifier sur la figure si tel est le cas).
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Exercice 2
1) Calculer la longueur JB.
Dans le triangle JAB rectangle en A, on utilise le théorème de Pythagore pour calculer JB.
JB² = AJ² + AB²
JB² = 18² + 7,5²
JB² = 324 + 56,25
JB = √380,25
JB = 19,5
La mesure de JB est de 19,5 m
2) Montrer que AC est égal à 5,4 m
Dans les deux triangles AJC et MJU on a :
- Les droites (MU) et (AC) qui sont parallèles
- Le point M qui appartient au segment [AJ] et le point U qui appartient au segment [CJ].
Par conséquent, nous sommes en configuration du théorème de Thalès, on peut poser les rapports de proportionnalité suivants :
JA / JM = AC / MU = JC / JU
Je remplace par les valeurs que je connais :
JA / JM = 18 / 10 et AC / MU = AC / 3
Je fais le produite en croix :
AC = (18 × 3) / 10
AC = 54 / 10
AC = 5,4
La mesure de AC est bien 5,4 m
3) Calculer l'aire du triangle JCB
On a le point C qui appartient au segment [AB]. Calculons [CB] :
CB = 7,5 - 5,4
CB = 2,1
La mesure de CB est de 2,1 m
Prenons [JA] comme la hauteur du triangle JCB issue de J
Et calculons l'aire d'un triangle = (Base × hauteur ) / 2
Aire de JCB = (CB × AJ) / 2
Aire de JCB = (2,1 × 18) / 2
Aire de JCB = 37,8 / 2
Aire de JCB = 18,9
L'aire du triangle JCB est de 18,9 m²
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