Bonjour
Laurie63
Exercice 1
[tex](E):y'-y=x^2-x-1[/tex]
[tex]1)\ (E_0):y'-y=0\Longleftrightarrow y'=y\Longleftrightarrow\boxed{y=ke^x\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
2) Il suffit de vérifier que g'(x) - g(x) = x² - x - 1.
Or
[tex]g'(x)-g(x)=(-x^2-x)'-(-x^2-x)\\\\g'(x)-g(x)=-2x-1+x^2+x\\\\\boxed{g'(x)-g(x)=x^2-x-1}[/tex]
Par conséquent, la fonction g définie par g(x) = -x²-x est solution de l'équation (E)
3) Nous pouvons déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est [tex]\boxed{y=ke^x-x^2-x\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
4) f(0) = 1
D'où
[tex]k\times e^0-0^2-0=1\\\\k\times1=1\\\\\Longrightarrow\boxed{k=1}[/tex]
Par conséquent, la solution f de l'équation (E) vérifiant f(0)=1 est définie par [tex]\boxed{f(x)=e^x-x^2-x}[/tex]
Exercice 2
[tex](E):y'-y=-x-1[/tex]
1) Il suffit de vérifier que h'(x) - h(x) = x - 1.
Or
[tex]h'(x)-h(x)=(-x)'-(-x)\\\\h'(x)-h(x)=-1+x\\\\\boxed{h'(x)-h(x)=x-1}[/tex]
[tex]2)\ (E'):y'-y=0\Longleftrightarrow y'=y\Longleftrightarrow\boxed{y=ke^x\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
3) Nous pouvons déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est [tex]\boxed{y=ke^x-x\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
4) f(1) = 0
[tex]k\times e^1-1=0\\\\k\times e=1\\\\k=\dfrac{1}{e}=e^{-1}[/tex]
D'où
[tex]f(x)=e^{-1}\times e^x-x\\\\\boxed{f(x)=e^{x-1}-x}[/tex]
Par conséquent, la solution f de l'équation (E) vérifiant f(0)=1 est définie par [tex]\boxed{f(x)=e^{x-1}-x}[/tex]
Exercice 3
[tex]y'+3y=6e^{-x}[/tex]
[tex]1)\ (E_0):y'+3y=0\Longleftrightarrow y'=-3y\Longleftrightarrow\boxed{y=ke^{-3x}\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
2) Il suffit de montrer que [tex]g'(x)+3g(x)=6e^{-x}[/tex]
Or
[tex]g'(x)+3g(x)=6e^{-x}\Longleftrightarrow(ae^{-x})'+3(ae^{-x})=6e^{-x}\\\\\Longleftrightarrow-ae^{-x}+3ae^{-x}=6e^{-x}\\\\\Longleftrightarrow2ae^{-x}=6e^{-x}\\\\\Longleftrightarrow2a=6\\\\\Longleftrightarrow a=3[/tex]
Par conséquent, une solution particulière g de (E) est définie par [tex]\boxed{g(x)=3e^{-x}}[/tex]
3) Nous pouvons déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est [tex]\boxed{y=ke^{-3x}+3e^{-x}\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
4) f(0) = 0
[tex]ke^{0}+3e^{0}=0\\\\k\times1+3\times1=0\\\\k+3=0\\\\\boxed{k=-3}[/tex]
Par conséquent, la solution f de l'équation (E) vérifiant f(0)=0 est définie par [tex]\boxed{f(x)=-3e^{-3x}+3e^{-x}}[/tex]
Exercice 4
[tex]1)\ (H):y'+y=0\Longleftrightarrow y'=-y\Longleftrightarrow\boxed{y=ke^{-x}\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
2) Il suffit de montrer que [tex]g'(x)+g(x)=x[/tex]
Or
[tex]g'(x)+g(x)=x\Longleftrightarrow(ax+b)'+(ax+b)=x\\\\\Longleftrightarrow a+ax+b=x\\\\\Longleftrightarrow ax+(a+b)=x\\\\\Longleftrightarrow ax+(a+b)=x+0\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=1\\a+b=0 \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=1\\b=-a \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}a=1\\b=-1 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{g(x)=x-1}[/tex]
Par conséquent, une solution particulière g de (E) est définie par [tex]\boxed{g(x)=x-1}[/tex]
3) a) Nous pouvons déduire que l'ensemble des solutions de l'équation (E) est [tex]\boxed{y=ke^{-x}+x-1\ \ (k\in\mathbb{R})}[/tex]
b) f(0) = 0
[tex]ke^{0}+0-1=0\\k\times1-1=0\\k-1=0\\k=1[/tex]
Par conséquent, la solution f de l'équation (E) vérifiant f(0)=0 est définie par [tex]\boxed{f(x)=e^{-x}+x-1}[/tex]
