Bonjour Usainbolt
Exercice 1
Partie A
1) Au total, il y a (n+9) boules dont 9 rouges et n vertes.
Puisqu'il y a remise de la boule, les probabilités restent identiques pour chaque tirage.
Soit R1 : la boule est rouge au premier tirage
R2 : la boule est rouge au second tirage
V1 : la boule est verte au premier tirage
V2 : la boule est verte au second tirage
L'arbre pondéré se trouve en pièce jointe.
2) A : les deux boules sont de la même couleur.
[tex]P(A)=P(R_1R_2\ ou\ V_1V_2)=P(R_1R_2)+P(V_1V_2)\\\\P(A)=\dfrac{9}{n+9}\times\dfrac{9}{n+9}+\dfrac{n}{n+9}\times\dfrac{n}{n+9}\\\\P(A)=(\dfrac{9}{n+9})^2+(\dfrac{n}{n+9})^2\\\\P(A)=\dfrac{81}{(n+9)^2}+\dfrac{n^2}{(n+9)^2}\\\\\\\boxed{P(A)=\dfrac{n^2+81}{(n+9)^2}}[/tex]
B : Les deux boules sont de couleurs différentes.
[tex]P(B)=P(R_1V_2\ ou\ V_1R_2)=P(R_1V_2)+P(V_1R_2)\\\\P(B)=\dfrac{9}{n+9}\times\dfrac{n}{n+9}+\dfrac{n}{n+9}\times\dfrac{9}{n+9}\\\\P(B)=\dfrac{9n}{(n+9)^2}+\dfrac{9n}{(n+9)^2}\\\\\boxed{P(B)=\dfrac{18n}{(n+9)^2}}[/tex]
Partie B
1) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -3 ou 5.
En utilisant l'arbre pondéré et les résultats de la partie A, nous déduisons la loi de probabilité de X :
[tex]P(X=-3)=\dfrac{n^2+81}{(n+9)^2}\\\\\\P(X=5)=\dfrac{18n}{(n+9)^2}[/tex]
Espérance E(X) :
[tex]E(X)=-3\times\dfrac{n^2+81}{(n+9)^2}+5\times\dfrac{18n}{(n+9)^2}\\\\\\E(X)=\dfrac{-3n^2-243}{(n+9)^2}+\dfrac{90n}{(n+9)^2}\\\\\\\boxed{E(X)=\dfrac{-3n^2+90n-243}{(n+9)^2}}[/tex]
2) Le jeu sera équitable, favorable ou défavorable à Leslie suivant le signe de E(x)
Puisque (n+9)² > 0, le signe de E(X) sera le signe de -3n²+90n-243.
[tex]
\begin{array}{|c|ccccccc|} n&0&&3&&27&&+\infty\\-3n^2+90n-243&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}
[/tex]
D'où,
E(X) = 0 si n = 3 ou 27 ==> le jeu sera équitable si n = 3 ou si n = 27.
E(X) > 0 si 3 < n < 27 ==> le jeu sera favorable à Leslie si -3 < n < 27
E(X) < 0 si 0 ≤ n < 3 ou si n > 27 ==> le jeu sera défavorable à Leslie si 0 ≤ n < 3 ou si n > 27
3) Recherche de la valeur de n telle que E(X) soit maximal.
[tex]E(X)=\dfrac{-3n^2+90n-243}{(n+9)^2}\\\\E'(X)=\dfrac{-144(n-9)}{(n+9)^3}\ \ (voir\ document)[/tex]
E(X) sera maximal si E'(X) = 0, soit si n=9.
Par conséquent, il faudra mettre 9 boules vertes dans l'urne pour maximiser l'espérance du gain.
[tex]E(9)=\dfrac{-3\times9^2+90\times9-243}{(9+9)^2}=1[/tex]
Leslie peut alors espérer un gain moyen de 1 €.
Partie C
[tex]1)\ Y=(n+9)^2\times X\\\\E(Y)=-3n^2+90n-243[/tex]
2) Recherche de la valeur de n telle que E(y) soit maximal.
[tex]E'(Y)=-6n+90=-6(n-15)[/tex]
E(Y) sera maximal si E'(y) = 0, soit si n=15.
Par conséquent, il faudra mettre 15 boules vertes dans l'urne pour maximiser l'espérance du gain.
E(15)=432
Leslie peut alors espérer un gain moyen de 432 €.
Exercice 2
Voir arbre pondéré en pièce jointe.
Soit X la variable aléatoire dont les valeurs sont les nombres de tirages de pantalons pour obtenir un pantalon blanc.
[tex]P(X=1)=\dfrac{3}{7}\\\\P(X=2)=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{6}=\dfrac{2}{7}\\\\P(X=3)=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{6}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{35}\\\\P(X=4)=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{35}\\\\P(X=5)=\dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}\times1=\dfrac{1}{35}[/tex]
Calcul de l'espérance de X :
[tex]E(X)=1\times\dfrac{3}{7}+2\times\dfrac{2}{7}+3\times\dfrac{6}{35}+4\times\dfrac{3}{35}+5\times\dfrac{1}{35}\\\\\boxed{E(X)=2}[/tex]
Par conséquent,
Leslie doit sortir en moyenne 2 pantalons pour obtenir un pantalon blanc.
