Bonjour
ZekiaChin,
1) La fonction N est une fonction affine dont le coefficient directeur est -7<0.
Donc la fonction N est décroissante.
On en déduit que plus le prix de vente par lunette augmente, plus la demande diminue puisque le nombre de personnes disposées à acheter le modèle diminue.
2) N = 300
a) 300 = -0,7x + 588
0,7x = 588 - 300
0,7x = 288
x = 288/0,7
x ≈ 411.
D'où le prix unitaire de cette monture est d'environ 411 €.
b) Recette : [tex]300\times411=123300[/tex]
Coût de fabrication : [tex]300\times150+10000=55000[/tex]
Bénéfice : [tex]123300-55000=68300[/tex]
D'où, la vente de 300 montures de lunettes induit une recette de 123 300 €, un coût de fabrication de 55 000 € et un bénéfice de 68 300 €
3) Bénéfice = Recette - Coût de fabrication
B'x) = R(x) - C(x)
Or R(x) = (-0,7x + 588)x
R(x) = -0,7x² + 588x
C(x) = 150(-0,7x + 588) + 10 000
C(x) = -105x + 88 200 + 10 000
C(x) = -105x + 98 200
donc
B(x) = R(x) - C(x).
B(x) = (-0,7x² + 588x) - (-105x + 98 200)
B(x) = -0,7x² + 588x + 105x - 98 200
B(x) = -0,7x² + 693x - 98 200
4) La fonction B est une fonction trinôme du second degré dont le coefficient de x² est négatif.
Cette fonction admet donc un maximum si x = [-b/2a] = -693/(-1,4) = 495.
la valeur de ce maximum est B(495) = 73 317,5.
B(150) = -10 000
B(800) = 8 200
D'où, le tableau de variation de B
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&150&&495&&800\\B(x)&-10000&\nearrow&73 317,5&\searrow&8200\\\end{array}[/tex]
La représentation graphique de la fonction B est en pièce jointe.
[tex]5)\ B(x)\ge0\\\\-0,7x^2+693x-98200\ge0\\\\\Delta=693^2-4\times(-0,7)\times(-98200)=205289\\\\x_1=\dfrac{-693-\sqrt{205289}}{-1,4}\approx818,6\\\\x_2=\dfrac{-693+\sqrt{205289}}{-1,4}\approx171,4\\\\\\\begin{array}{|c|cccccccc|} x&150&&171,4&&800&&818,6&\\B(x)&&-&0&+&+&+&0&-\\\end{array}[/tex]
Par conséquent, dans l'intervalle [150 ; 800], l'ensemble des solutions de l'inéquation B(x) ≥ 0 est [tex]\boxed{S=[171,4\ ;\ 800]}[/tex]
On en déduit que l'entreprise réalisera un bénéfice sur la vente de lunettes si le nombre minimum de lunettes vendues est 172 et le nombre maximum est 800.
6) Résoudre l'inéquation B(x) ≥ 67 000.
[tex]-0,7x^2+693x-98200\ge67000\\\\-0,7x^2+693x-165200\ge0\\\\\Delta=693^2-4\times(-0,7)\times(-165200)=17689\\\\x_1=\dfrac{-693-\sqrt{17689}}{-1,4}=590\\\\x_2=\dfrac{-693+\sqrt{17689}}{-1,4}=400\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&150&&400&&590&&800\\-0,7x^2+693x-165200&&-&0&+&0&-\\\end{array}[/tex]
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation B(x) ≥ 67 000 est [tex]\boxed{S=[400\ ;\ 590]}[/tex]
Le prix unitaire doit donc être compris entre 400 € et 590 €.
7) En utilisant le résultat de la question 4, nous déduisons que le bénéfice sera maximal si le prix d'une monture de lunettes est égal à 495 €.
8) Voir pièce jointe.
