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Bonsoir,
Je vais d'abord devoir faire quelques rappels que tu as dû voir en 3ième et qui sont indispensable pour résoudre :
Rappels :
Si je dis que A-B = 0 je dis donc que A=B et c'est tout le temps vrai.
Si la soustraction de deux nombres = 0 , c'est que ceux sont les mêmes nombre qu'on a peut-être écrit sous deux formes différentes.
exemple : Si A = 3 et que B = 3 et qu'on a A-B on a : 3-3 = 0 veut bien dire que 3 =3
Je peux aussi écrire : A = 3 et B = 9/3 et 3-9/3 = 0 , tu seras d'accord pour dire que A et B sont bien le même nombre, sauf que l'un est écrit sous forme de fraction et l'autre par son nombre classique.
rappel 2 : la distributivité
K (a+b ) = ka+kb de même que que k (a-b ) = ka-kb ou a, b, k sont des nombres.
si k = 5 , a = 2 et b = 3 et que j'ai k (a+b) j'ai donc : 5 (2+3) = 5*2+5*3 = 10+15 = 25
rappel 3 : les identités remarquables
Il faut que tu les connaisses par coeur, ça te facilitera la vie :
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b) (a-b) = a² -b²
et aussi que tu gardes en tête tes puissance jusqu'a 10 ( ça permet de repérer une identité remarquable "caché")
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
quand tu vois un des nombres de gauche dans une expression , il faut toujours te demande si en l'écrivant sous sa forme nombre² , ça me permet pas de trouver une identité remarquable .
exemple : (3x+2)² -49 et on te demande de factoriser.
tu dois te dire " 49 " c'est 7² et donc j'ai bien une identité remarquable de la forme : a² -b² avec a = 3x+2 et b = 7
et donc tu appliques ta formule et tu trouves : ( 3x+2+7) (3x-2-7) = (3x+9) (3x-9)
dernier rappel : si A*B = 0 , ça veut dire que soit A = 0 , soit B = 0 voir même que A et B = 0 (même si tu auras rarement ce cas )
Maintenant que ces rappels sont fait, on va passer aux exercices:
1) 3(x+2)-2(-3x+5)=0
On va développer tout pour y voir un peu plus clair :
3x+6 +6x-10 = 0
on calcul tout par type de "nombres" , on regroupe les x ensemble et les nombres classiques ensembles.
on a : 3x+6x +6-10 = 0
9x -4 = 0
maintenant on va donc isoler les "x" d'un coté et les nombres de l'autre.
Bien qu'on dit souvent qu'on passe un nombre de l'autre coté en changeant son signe, mathématiquement voilà ce qui se passe :
9x-4 = 0
j'ai le droit d'ajouter, de soustraire, de multiplier ou de diviser par un même nombre de chaque coté de mon équation. si je fais ça , je ne change pas l'égalité.
ici pour passer 4 de l'autre coté, je vais donc ajouter 4 pour supprimer le -4 à gauche, et comme j'ai ajouté 4 à gauche je suis obligé de le faire à droite.
on a donc : 9x-4+4 = 0+4
9x = 4
J'ai ici 9 fois x = 4 donc pour avoir 1 fois x , je vais diviser à gauche et à droite par 9 :
9x /9 = 4/9
x = 4/9
une fois que j'ai le résultat, je vérifie que j'ai bien le résultat sous la forme la plus simple possible.
et bien sûr, je peux vérifier à la calculatrice que le résultat est bon en remplaçant dans ma première ligne x par 4/9 et voir si la calculatrice est bien d'accord .
2) x+7=-10
on isole X d'un coté et on bascule 7 de l'autre coté en retirant 7 de chaque coté .
x+7 = -10
x+7-7 = -10-7
x = -17
on vérifie : si x = -17 on -17 +7 = -10 donc la solution est exacte.
3) (3x+1)(x-2)=x²-4
on remarque que x²-4 est une identité remarquable de forme a²-b²
qui s'écrit donc (a+b) (a-b) et on sait que 4 = 2²
on va donc remplacer et voir si ça nous aide :
(3x+1)(x-2)=x²-4
(3x+1) (x-2) = (x+2) (x-2)
on remarque q'on a (x-2) des deux cotés. on va donc simplifier en divisant par (x-2) des deux cotés et on a :
3x+1 = x+2
on va regrouper les x d'un coté et les nombres de l'autres :
3x-x = 2-1
2x = 1
x = 1/2
4) (3x+2)²-x²=0
on remarque ici la forme d'une identité remarquable de la forme : a² -b²
on va donc s'en servir :
a = (3x+2) et b = x
donc on a : (3x+2+x) (3x+2-x ) = 0
on sait que si A*B = 0 c'est que A = 0 ou B = 0
donc je vais avoir deux solutions : 3x+2+x = 0
4x+2 = 0
Toujours pareil, on isole les x d'un coté : 4x+2-2 = 0-2
4x = -2
4x/4 = -2/4
x = -2*1 / 2*2
x = -1/2
X = -1/2 est notre première solution, et maintenant on doit aussi voir :
(3x+2-x ) = 0
3x-x-2 = 0
2x-2 = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1
C'est donc notre deuxième solution : x = 1
conclusion : (3x+2)²-x²=0 a deux solution, x = -1/2 et x = 1
5) (x+3)(x+2)+x²-9=0
on va garder à l'esprit que x² -9 = (x+3) (x-3)
on a donc : (x+3) (x+2) + (x+3) (x-3) =0
on remarque que x+3 est commun aux deux expressions et on se rappelle que ka +kb = k (a+b)
donc : (x+3) ( x+2 + x-3) = 0
(x+3) ( 2x-1) = 0
on sait que si A*B = 0 c'est que A = 0 ou B = 0
donc soit : x+3 = 0 donc x = -3
soit 2x-1 = 0 donc 2x = 1 donc x = 1/2
les solutions sont donc x = -3 ou x = 1/2
Je vais d'abord devoir faire quelques rappels que tu as dû voir en 3ième et qui sont indispensable pour résoudre :
Rappels :
Si je dis que A-B = 0 je dis donc que A=B et c'est tout le temps vrai.
Si la soustraction de deux nombres = 0 , c'est que ceux sont les mêmes nombre qu'on a peut-être écrit sous deux formes différentes.
exemple : Si A = 3 et que B = 3 et qu'on a A-B on a : 3-3 = 0 veut bien dire que 3 =3
Je peux aussi écrire : A = 3 et B = 9/3 et 3-9/3 = 0 , tu seras d'accord pour dire que A et B sont bien le même nombre, sauf que l'un est écrit sous forme de fraction et l'autre par son nombre classique.
rappel 2 : la distributivité
K (a+b ) = ka+kb de même que que k (a-b ) = ka-kb ou a, b, k sont des nombres.
si k = 5 , a = 2 et b = 3 et que j'ai k (a+b) j'ai donc : 5 (2+3) = 5*2+5*3 = 10+15 = 25
rappel 3 : les identités remarquables
Il faut que tu les connaisses par coeur, ça te facilitera la vie :
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
(a+b) (a-b) = a² -b²
et aussi que tu gardes en tête tes puissance jusqu'a 10 ( ça permet de repérer une identité remarquable "caché")
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100
quand tu vois un des nombres de gauche dans une expression , il faut toujours te demande si en l'écrivant sous sa forme nombre² , ça me permet pas de trouver une identité remarquable .
exemple : (3x+2)² -49 et on te demande de factoriser.
tu dois te dire " 49 " c'est 7² et donc j'ai bien une identité remarquable de la forme : a² -b² avec a = 3x+2 et b = 7
et donc tu appliques ta formule et tu trouves : ( 3x+2+7) (3x-2-7) = (3x+9) (3x-9)
dernier rappel : si A*B = 0 , ça veut dire que soit A = 0 , soit B = 0 voir même que A et B = 0 (même si tu auras rarement ce cas )
Maintenant que ces rappels sont fait, on va passer aux exercices:
1) 3(x+2)-2(-3x+5)=0
On va développer tout pour y voir un peu plus clair :
3x+6 +6x-10 = 0
on calcul tout par type de "nombres" , on regroupe les x ensemble et les nombres classiques ensembles.
on a : 3x+6x +6-10 = 0
9x -4 = 0
maintenant on va donc isoler les "x" d'un coté et les nombres de l'autre.
Bien qu'on dit souvent qu'on passe un nombre de l'autre coté en changeant son signe, mathématiquement voilà ce qui se passe :
9x-4 = 0
j'ai le droit d'ajouter, de soustraire, de multiplier ou de diviser par un même nombre de chaque coté de mon équation. si je fais ça , je ne change pas l'égalité.
ici pour passer 4 de l'autre coté, je vais donc ajouter 4 pour supprimer le -4 à gauche, et comme j'ai ajouté 4 à gauche je suis obligé de le faire à droite.
on a donc : 9x-4+4 = 0+4
9x = 4
J'ai ici 9 fois x = 4 donc pour avoir 1 fois x , je vais diviser à gauche et à droite par 9 :
9x /9 = 4/9
x = 4/9
une fois que j'ai le résultat, je vérifie que j'ai bien le résultat sous la forme la plus simple possible.
et bien sûr, je peux vérifier à la calculatrice que le résultat est bon en remplaçant dans ma première ligne x par 4/9 et voir si la calculatrice est bien d'accord .
2) x+7=-10
on isole X d'un coté et on bascule 7 de l'autre coté en retirant 7 de chaque coté .
x+7 = -10
x+7-7 = -10-7
x = -17
on vérifie : si x = -17 on -17 +7 = -10 donc la solution est exacte.
3) (3x+1)(x-2)=x²-4
on remarque que x²-4 est une identité remarquable de forme a²-b²
qui s'écrit donc (a+b) (a-b) et on sait que 4 = 2²
on va donc remplacer et voir si ça nous aide :
(3x+1)(x-2)=x²-4
(3x+1) (x-2) = (x+2) (x-2)
on remarque q'on a (x-2) des deux cotés. on va donc simplifier en divisant par (x-2) des deux cotés et on a :
3x+1 = x+2
on va regrouper les x d'un coté et les nombres de l'autres :
3x-x = 2-1
2x = 1
x = 1/2
4) (3x+2)²-x²=0
on remarque ici la forme d'une identité remarquable de la forme : a² -b²
on va donc s'en servir :
a = (3x+2) et b = x
donc on a : (3x+2+x) (3x+2-x ) = 0
on sait que si A*B = 0 c'est que A = 0 ou B = 0
donc je vais avoir deux solutions : 3x+2+x = 0
4x+2 = 0
Toujours pareil, on isole les x d'un coté : 4x+2-2 = 0-2
4x = -2
4x/4 = -2/4
x = -2*1 / 2*2
x = -1/2
X = -1/2 est notre première solution, et maintenant on doit aussi voir :
(3x+2-x ) = 0
3x-x-2 = 0
2x-2 = 0
2x = 2
x = 2/2
x = 1
C'est donc notre deuxième solution : x = 1
conclusion : (3x+2)²-x²=0 a deux solution, x = -1/2 et x = 1
5) (x+3)(x+2)+x²-9=0
on va garder à l'esprit que x² -9 = (x+3) (x-3)
on a donc : (x+3) (x+2) + (x+3) (x-3) =0
on remarque que x+3 est commun aux deux expressions et on se rappelle que ka +kb = k (a+b)
donc : (x+3) ( x+2 + x-3) = 0
(x+3) ( 2x-1) = 0
on sait que si A*B = 0 c'est que A = 0 ou B = 0
donc soit : x+3 = 0 donc x = -3
soit 2x-1 = 0 donc 2x = 1 donc x = 1/2
les solutions sont donc x = -3 ou x = 1/2
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