Bonjour
Meliguichet
a) Voir courbe en pièce jointe.
L'unité sur les axes mesure 1 cm.
Les diverses mesures des longueurs pris à la règle donnent les valeurs suivantes :
De A(2 ; 0) à (0 ; 0) : 2 cm
De A(2 ; 0) à (0,5 ; 0,7) : 1,7 cm
De A(2 ; 0) à (1 ; 1) : 1,4 cm
De A(2 ; 0) à (1,5 ; 1,2) : 1,3 cm
De A(2 ; 0) à (2 ; 1,4) : 1,4 cm
De A(2 ; 0) à (2,5 ; 1,6) : 1,7 cm
De A(2 ; 0) à (3 ; 1,7) : 2 cm
De A(2 ; 0) à (3,5 ; 1,8) : 2,4 cm
De A(2 ; 0) à (4 ; 2) : 2,9 cm
[tex]2)\ AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2}\\\\AM=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}\\\\AM=\sqrt{x^2-4x+4+(\sqrt{x})^2}\\\\AM=\sqrt{x^2-4x+4+x}\\\\AM=\sqrt{x^2-3x+4}\\\\AM=\sqrt{x^2-2\times\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{2})^2-(\dfrac{3}{2})^2+4}\\\\AM=\sqrt{(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{4}+4}\\\\AM=\sqrt{(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{9}{4}+\dfrac{16}{4}}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=AM=\sqrt{(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}}}[/tex]
c) La fonction définie par [tex]x\mapsto(x-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}}[/tex] admet un minimum pour x = 3/2 (car c'est la forme canonique d'un trinôme du second degré dont le coefficient de x² est 1>0).
La fonction "racine carrée" est croissante sur [0 ; +oo[
Puisque la fonction f est la composée de ces deux fonctions, la fonction f admettra également un minimum pour cette valeur x = 3/2.
d) Par conséquent, le point de la courbe le plus proche de A(2 ; 0) est le point [tex]\boxed{M(\dfrac{3}{2}\ ;\ \sqrt{\dfrac{3}{2}})\approx M(1,5\ ;\ 1,2)}[/tex]
