Bonjour
Brugnel
1) [tex]C_0=300000[/tex]
Le montant des intérêts est égal à [tex]0,03\times300000=9000[/tex]
[tex]C_1=300000+9000-12\times18000=291000[/tex]
D'où, le capital à rembourser au bout d'une année est égal à 291 000 €.
2) Calcul de [tex]C_2[/tex]
Au bout de la deuxième année, le montant des intérêts est égal à [tex]0,03\times C_1[/tex]
Or [tex]C_2[/tex] est égal au capital [tex]C_1[/tex] augmenté des intérêts et desquels on retire les montants versés, soit 12 x 1500 €
D'où
[tex]C_2=C_1+0,03\times C_1-12\times1500\\\\C_2=(1+0,03)C_1-18000\\\\\boxed{C_2=1,03C_1-18000}[/tex]
3) Calcul de [tex]C_{n+1}[/tex]
Au bout de la n-ième année, le montant des intérêts est égal à [tex]0,03\times C_n[/tex]
Or [tex]C_{n+1}[/tex] est égal au capital [tex]C_n[/tex] augmenté des intérêts et desquels on retire les montants versés, soit 12 x 1500 €
D'où
[tex]C_{n+1}=C_n+0,03\times C_n-12\times1500\\\\C_{n+1}=(1+0,03)C_n-18000\\\\\boxed{C_{n+1}=1,03C_n-18000}[/tex]
[tex]4)\ C_0=300000\\\\C_1=291000\\\\C_2=10,3C_1-18000=281730[/tex]
a) Montrons que la suite [tex](C_n)[/tex] n'est pas arithmétique.
[tex]C_1-C_0=291000-300000=-9000\\\\C_2-C_1=281730-291000=-9270\\\\-9000\neq-9270\Longrightarrow\boxed{C_1-C_0\neq C_2-C_1}[/tex]
D'où la suite [tex](C_n)[/tex] n'est pas arithmétique
b) Montrons que la suite [tex](C_n)[/tex] n'est pas géométrique.
[tex]\dfrac{C_1}{C_0}=\dfrac{291000}{300000}=0,97\\\\\dfrac{C_2}{C_1}=\dfrac{281730}{291000}\approx0,968\\\\0,97\neq0,968\Longrightarrow\boxed{\dfrac{C_1}{C_0}\neq\dfrac{C_2}{C_1}}[/tex]
D'où la suite [tex](C_n)[/tex] n'est pas géométrique.
[tex]5)\ V_n=C_n-600000[/tex]
[tex]a)\ V_0=C_0-600000\\\\V_0=300000-600000\\\\\boxed{V_0=-300000}[/tex]
[tex]b)\ V_{n+1}=C_{n+1}-600000\\\\V_{n+1}=(1,03C_{n}-18000)-600000\\\\V_{n+1}=1,03C_{n}-618000\\\\V_{n+1}=1,03C_{n}-1,03\times60000\\\\V_{n+1}=1,03(C_{n}-60000)\\\\\boxed{V_{n+1}=1,03V_n}[/tex]
c) La suite (Vn) est une suite géométrique de raison 1,03 et dont le premier terme est [tex]V_0=-300000[/tex]
D'où
[tex]V_n=V_0\times(1,03)^n\\\\\boxed{V_n=-300000\times(1,03)^n}[/tex]
[tex]d)\ V_n=C_n-600000\Longrightarrow C_n=600000+V_n\\\\\Longrightarrow\boxed{C_n=600000-300000\times(1,03)^n}[/tex]
6) a) Algorithme.
Variables : n de type entier
Initialisation : n prend la valeur 0
Traitement : Tant que [tex]600000-300000\times(1,03)^n\ \textgreater \ 0[/tex]
Remplacer n par n+1
Sortie : Afficher n
b) Cet algorithme calcule les différents montants du capital au fil des années tant que le capital est positif.
Il s'arrête quand le capital devient négatif
Il affiche alors le nombre d'années écoulées pour que le capital soit négatif.
c) 24 signifie qu'au bout de la 24ème année, le capital est négatif.
7) A l'aide du tableur de la calculatrice, nous trouvons : n ≈ 23,45 (années)
23,45 années = 23 années + 0,45 années
Or 0,45 années = 0,45 x 12 mois = 5,4
Donc, le capital à rembourser devient nul après 23 ans et 5,4 mois.
