Bonjour
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Exercice 28
1) Soit (E1) l'équation y" + 4y' + 13y = 0
Déterminons la valeur du nombre [tex]\lambda[/tex] pour qu'une solution de l'équation (E1) soit de la forme [tex]y(t)=ke^{\lambda t}\ \ (k\in\mathbb{R^*})[/tex]
Dans l'équation (E1), remplaçons y par [tex]ke^{\lambda t}[/tex]
[tex](ke^{\lambda t})''+4(ke^{\lambda t})'+13ke^{\lambda t}=0\\\\(k\lambda e^{\lambda t})'+4k\lambda e^{\lambda t}+13ke^{\lambda t}=0\\\\k\lambda^2e^{\lambda t}+4k\lambda e^{\lambda t}+13ke^{\lambda t}=0\\\\(\lambda^2+4\lambda+13)ke^{\lambda t}=0\\\\\lambda^2+4\lambda+13=0\\\\\Delta=4^2-4\times1\times13=16-52=-36\\\\Les\ racines\ carr\acute{e}es\ de\ -36\ sont\ \pm6i\\\\\lambda=\dfrac{-4\pm6i}{2}=\dfrac{2(-2\pm3i)}{2}=-2\pm3i[/tex]
Par conséquent, les solutions de l'équation (E1) sont :
[tex]y_1(t)=k_1e^{(-2+3i)t}\ \ (k_1\in\mathbb{R^*})\ \ et\ \ y_2(t)=k_2e^{(-2+3i)t}\ \ (k_2\in\mathbb{R^*})[/tex]
Solution générale de l'équation (E1) :
[tex]f(t)=y_1(t)+y_2(t)\\\\f(t)=k_1e^{(-2+3i)t}+k_2e^{(-2-3i)t}\\\\f(t)=k_1e^{-2t}e^{i3t}}+k_2e^{-2t}e^{i(-3t)}}\\\\f(t)=k_1e^{-2t}[\cos(3t)+i\sin(3t)]+k_2e^{-2t}[\cos(-3t)+i\sin(-3t)]\\\\f(t)=k_1e^{-2t}[\cos(3t)+i\sin(3t)]+k_2e^{-2t}[\cos(3t)-i\sin(3t)]\\\\f(t)=(k_1+k_2)e^{-2t}\cos(3t)+i(k_1-k_2)e^{-2t}\sin(3t)[/tex]
Soit [tex]k=k_1+k_2\ \ et\ \ k'=i(k_1-k_2)[/tex]
Alors l'intégrale générale de l'équation (E1) est [tex]\boxed{f(t)=ke^{-2t}\cos(3t)+k'e^{-2t}\sin(3t)}[/tex]
2) Solution particulière.
Soit une solution particulière de (E) de la forme [tex]y_0(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)[/tex]
Alors :
[tex]y_0''(t)+4y_0'(t)+13y_0(t)=5\sin(2t)\\\\\ \ [A\cos(2t)+B\sin(2t)]''+4[A\cos(2t)+B\sin(2t)]'\\+13[A\cos(2t)+B\sin(2t)]=5\sin(2t)\\\\\ \ [-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)]'+4[-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)]\\+13[A\cos(2t)+B\sin(2t)]=5\sin(2t)\\\\\ \ [-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)]+4[-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)]\\+13[A\cos(2t)+B\sin(2t)]=5\sin(2t)\\\\-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)-8A\sin(2t)+8B\cos(2t)\\+13A\cos(2t)+13B\sin(2t)=5\sin(2t)[/tex]
[tex]\\\\9A\cos(2t)+9B\sin(2t)-8A\sin(2t)+8B\cos(2t)=5\sin(2t)\\\\(9A+8B)\cos(2t)+(9B-8A)\sin(2t)=5\sin(2t)[/tex]
D'où, par identification :
[tex]\left\{\begin{matrix}9A+8B=0\\9B-8A=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}9A=-8B\\9B-8A=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\9B-8A=5 \end{matrix}\right.\\\\\\\left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\9B-8(-\dfrac{8}{9}B)=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\9B+\dfrac{64}{9}B=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\\dfrac{81}{9}B+\dfrac{64}{9}B=5 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\\dfrac{145}{9}B=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\B=5\times\dfrac{9}{145} \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}B\\\\B=\dfrac{9}{29} \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{9}\times\dfrac{9}{29}\\\\B=\dfrac{9}{29} \end{matrix}\right.\\\\\\\boxed{\left\{\begin{matrix}A=-\dfrac{8}{29}\\\\B=\dfrac{9}{29} \end{matrix}\right.}[/tex]
Par conséquent, une fonction particulière, solution de (E) est [tex]\boxed{y_0(t)=-\dfrac{8}{29}\cos(2t)+\dfrac{9}{29}\sin(2t)}[/tex]
3) L'intégrale générale de (E) est donc :
[tex]\boxed{f(t)=ke^{-2t}\cos(3t)+k'e^{-2t}\sin(3t)-\dfrac{8}{29}\cos(2t)+\dfrac{9}{29}\sin(2t)}[/tex]
[tex]4)\ f(t)=ke^{-2t}\cos(3t)+k'e^{-2t}\sin(3t)-\dfrac{8}{29}\cos(2t)+\dfrac{9}{29}\sin(2t)\\\\\Longrightarrow f(0)=k\times1\times1+k'\times1\times0-\dfrac{8}{29}\times1+\dfrac{9}{29}\times0\\\\\Longrightarrow f(0)=k-\dfrac{8}{29}[/tex]
D'où
[tex]f(0)=-\dfrac{8}{9}\Longleftrightarrow k-\dfrac{8}{29}=-\dfrac{8}{29}\Longleftrightarrow\boxed{k=0}[/tex]
Donc
[tex]\boxed{f(t)=k'e^{-2t}\sin(3t)-\dfrac{8}{29}\cos(2t)+\dfrac{9}{29}\sin(2t)}[/tex]
Déterminons la valeur de k'.
[tex]f'(t)=[k'e^{-2t}\sin(3t)-\dfrac{8}{29}\cos(2t)+\dfrac{9}{29}\sin(2t)]'\\\\\\f'(t)=-2k'e^{-2t}\sin(3t)+3k'e^{-2t}\cos(3t)+\dfrac{16}{29}\sin(2t)+\dfrac{18}{29}\cos(2t)[/tex]
D'où
[tex]f'(0)=\dfrac{105}{29}\\\\\Longleftrightarrow-2k'\times1\times0+3k'\times1\times1+\dfrac{16}{29}\times0+\dfrac{18}{29}\times1=\dfrac{105}{29}\\\\\Longleftrightarrow3k'+\dfrac{18}{29}=\dfrac{105}{29}\\\\\Longleftrightarrow3k'=\dfrac{105}{29}-\dfrac{18}{29}\\\\\Longleftrightarrow3k'=\dfrac{87}{29}=3\\\\\Longleftrightarrow\boxed{k'=1}[/tex]
Par conséquent,
la fonction solution de (E) vérifiant les conditions données est [tex]\boxed{f(t)=e^{-2t}\sin(3t)-\dfrac{8}{29}\cos(2t)+\dfrac{9}{29}\sin(2t)}[/tex]
