Bonjour,
j'espère que cet exo n'est pas pour ce matin.
On va chercher d'abord l'équation réduite de la tgte T à Cf en un point d'abscisse "a" totalement inconnu.
y=f '(a)(x-a)+f(a) avec f '(a)=4a+2 donc :
y=(4a+2)(x-a)+2a²+2a-3.
On arrange un peu :
Equa de la tgte T à Cf en "a" :
y=(4a+2)(x-a)-2a²-3
On va chercher les abscisses des points d'intersection de T avec Cg.
Pour cela on résout :
(4a+2)x-2a²-3=-x²+6x-7
On arrange un peu et ça donne :
x²+(4a-4)x-2a²+4=0 (E1)
On va déterminer pour quelles valeurs de "a" l'équation (E1) ci-dessus a une racine double , auquel cas T sera aussi tangente à Cg. Il faut alors que son discriminant soit nul. OK? .
Δ=[(4a-6)²-4(-2a²+2a+4]
On arrange un peu et ça donne :
Δ=24a²-32a
Δ=8a(3a-4)
Δ s'annule pour a=0 ou a=3/4.
Il suffit de reporter ces 2 valeurs de "a" dans l'équation de T donnée plus haut pour avoir les deux tangentes cherchées.
Je trouve :
T1 : y=2x-3
T2 : y=(22/3)x-59/9
J'ai tracé les paraboles , T1 et T2 sur le graph ci-dessous.
