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résolu

Bonjour j'ai un dm de maths à faire et je n'arrive pas un exercice. Serait-il possible d'avoir de l'aide. Merci d'avance! Je vous mets l'énoncé juste en dessous:

Dans le plan d'un repère, on considère les points A(-4 ; 1), B(1 ; -1), C(-2 ; 2) et D(-3 ; 3). On note I le milieu du segment AB et G le point tel que vecteurCG = 1/3 vecteurAC.
Le but de cet exercice est de montrer que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.

1. Justifier que les points B, C et D sont alignés.
2. a) Démontrer que la droite (IC) a pour équation cartésienne 4x + y + 6 = 0
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AD)
c) Justifier que les droites (AD) et (IC) sont sécantes en un point K dont on déterminera les coordonnées.
3. Montrer alors que les droites (AD), (IC) et (BG) sont concourantes.

Répondre :

SYOGIERVIZ
Bonjour,
1) les points B C D sont alignés si vecteur BC = k BD, k ∈ |R
Les coordonnées du vecteur BC sont (xC-xB ; yC-yB) = (-2-1 ;2-(-1)) =(-3 ; 3)
Les coordonnées du vecteur BD sont (xD-xB ; yD-yB) = (-3-1 ; 3-(-1)) = (-4 ; 4)
BC = 3/4 BD , alors les points B,C,D sont alignés
2a ) la droite (IC) a pour vecteur directeur IC de coordonnées (xC-xI ; yC-yI)
avec I milieu de AB qui a pour coordonnées (xI = xA+xB /2  ; yI = yA+yB  /2 )
xI = -4+1 /2 = -3/2  ; yI = 1-1 /2 = 0
Vecteur IC a pour coordonnées (-2-(-3/2) ; 2-0) =(-1/2 ; 2)
soit un point M (x; y) ∈ (IC) , alors vecteur IM (x+3/2 ; y) est colinéaire avec vecteur IC et leurs coordonnées respectives sont proportionnelles c'est-à-dire :
xIM* yIC = xIC * yIM => 2(x+3/2)=-1/2y => 2x+3+1/2y = 0 => 4x+y+6=0
la droite IC a pour équation cartésienne : 4x+y+6 =0
2b) on peut déterminer une équation cartésienne de (AD) en suivant la méthode précédente , mais sans utiliser les vecteurs on peut le faire avec calcul du taux d'accroissement = yD-yA /xD-xA = 3-1 /-3-(-4) = 2/1 =2 et détermination de b, ordonnée à l'origine avec un point de la droite, D par exemple : yD =2xD + b => 3= -6 +b => b=9
Une équation cartésienne de (AD) est y = 2x+9 => -2x+y-9 =0
c) (AD) et (IC) sont sécantes, s'il existe un point d'intersection K qui appartient aux deux droites, c'est - à -dire un point dont les coordonnées satisfont le système
4x+y+6= 0 => y = -4x-6
-2x+y-9 = 0 => y = 2x+9
-4x-6 = 2x +9 => -6x = 15 => x=- 5/2 et y =4. Il existe un point d'intersection K de coordonnées (-5/2 ; 4) alors (AD) et (IC) sont sécantes
3) (AD) , (IC) et (BG) sont concourantes, c'est-à-dire sécantes en 1 point qui est K  : il suffit de montrer que K appartient à la droite BG
Les coordonnées de G sont : xG -xC = 1/3 (xC-xA) => xG = 4/3xC -1/3xA =
-8/3+ 4/3 =-4/3 et yG = 4/3yC -1/3yA = 8/3 -1/3 =7/3
G( -4/3 ; 7/3)
BG a pour équation que je te laisse calculer y = -10/7x+3/7
K (-5/2 , 4) ∈ (BG) => -10/7*(-5/2) +3/7 = 50/14+3/7 = 25/7 +3/7 =28/7 =4
le point K ∈ (BG) et les trois droites sont concourantes en K
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