Bonjour,
regarde le schéma ci-joint.
Si on appelle r le rayon des bases du cylindre et h sa hauteur, on a :
V = h x π x r²
Sur la figure, on peu appliquer Pythagore :
AB² + BE² = AE²
Or AB = h, BE = 2r et AE = 2R (R = Rayon de la sphère)
Donc : h² + (2r)² = (2R)²
soit : h² + 4r² = 4R²
On en déduit : r² = (4R² - h²)/4
Et donc V = hπ(4R² - h²)/4
R = 4 cm
⇒ V = hπ(64 - h²)/4
⇔ V = πh(8 - h)(8 + h)/4 ou V = -πh³/4 + 16πh
h varie de 0 exclus à 8 exclus.
On cherche donc le maximum de la fonction V(h).
Si tu es en 1ère ou +, on peut utiliser la fonction dérivée :
V'(h) = -3πh²/4 + 16π
V'(h) = 0 ⇒ h² = -16π x 4/-3π = 64/3
⇒ h = √(64/3) = 8/√(3) = 4,618 cm environ
