Bonjour Design971
Exercice 29
Soit l'équation différentielle [tex]\dfrac{1}{200}y'(t)+y(t)=146\ \ (1)[/tex]
1) a) Soit l'équation [tex](E1):\dfrac{1}{200}y'(t)+y(t)=0[/tex]
Déterminons la valeur non nulle du nombre [tex]\lambda[/tex] pour qu'une solution de l'équation (E1) soit de la forme [tex]y(t)=ke^{\lambda t}\ \ (k\in\mathbb{R^*})[/tex]
Dans l'équation (E1), remplaçons y par [tex]ke^{\lambda t}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{200}\times[ke^{\lambda t}]'+ke^{\lambda t}=0\\\\\\\dfrac{1}{200}\times k\lambda e^{\lambda t}+ke^{\lambda t}=0\\\\\\ke^{\lambda t}(\dfrac{\lambda}{200}+1)=0\\\\\\\dfrac{\lambda}{200}+1=0\ \ (car\ \ ke^{\lambda t}\neq0)\\\\\\\dfrac{\lambda}{200}=-1\\\\\\\lambda=-200\\\\\\\Longrightarrow y(t)=ke^{-200t}[/tex]
Recherchons une solution particulière constante.
En remplaçant y par la constante C dans l'équation (1), nous obtenons :
[tex]\dfrac{1}{200}C'+C=146\\\\\dfrac{1}{200}\times0+C=146\\\\\Longrightarrow C=146[/tex]
Par conséquent, la solution générale de l'équation (1) est [tex]\boxed{\omega(t)=ke^{-200t}+146}[/tex]
[tex]b)\ \omega(0)=150\\\\\Longrightarrow ke^{-200\times0}+146=150\\\\\Longrightarrow ke^{0}=150-146\\\\\Longrightarrow k\times1=4\\\\\Longrightarrow\boxed{k=4}[/tex]
D'où [tex]\boxed{\omega(t)=4e^{-200t}+146}[/tex]
[tex]2)\ a)\ \omega_{\infty}=\lim\limits_{t\to+\infty}\omega(t)\\\\\\\omega_{\infty}=\lim\limits_{t\to+\infty}(4e^{-200t}+146)\\\\\\\omega_{\infty}=4[\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-200t}]+146\\\\\\\omega_{\infty}=4\times0+146\\\\\\\omega_{\infty}=146[/tex]
[tex]\omega(0)-\omega_{\infty}=150-146=4[/tex]
Donc la perte de vitesse due au couple résistant est égale à 4 rad.s⁻¹.
[tex]b)\ |\dfrac{\omega(t)-\omega_{\infty}}{\omega_{\infty}}|\le0,01\\\\\\|\dfrac{4e^{-200t}+146-146}{146}|\le0,01\\\\\\|\dfrac{4e^{-200t}}{146}|\le0,01\\\\\\\dfrac{4e^{-200t}}{146}\le0,01\ \ \ (car\ \ \dfrac{4e^{-200t}}{146}\ \textgreater \ 0)\\\\\\4e^{-200t}}\le0,01\times146[/tex]
[tex]\\\\\\4e^{-200t}}\le1,46\\\\\\e^{-200t}}\le0,365\\\\\\-200t\le\ln(0,365)\\\\\\t\ge\dfrac{-\ln(0,365)}{200}\\\\\boxed{t\ge\ln(\dfrac{1}{0,365})^{\frac{1}{200}}}\\\\\boxed{t\ge0,005}[/tex]
Par conséquent, la vitesse du moteur est stabilisée à partir de 0,005 seconde.
