Bonjour
Inesabd1904
Soit la fonction f définie par [tex]f(x)=\dfrac{x}{1-x}[/tex] dont la courbe représentative est Cf.
B(-2 , 1)
Nous allons déterminer s'il existe une valeur réelle a pour la la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a passe par le point B(-2 ; 1)
L'équation de cette tangente est de la forme : y = f '(a)(x - a) + f(a).
[tex]f(x)=\dfrac{x}{1-x}\Longrightarrow\boxed{f(a)=\dfrac{a}{1-a}}\\\\\\f(x)=\dfrac{x}{1-x}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{x'\times(1-x)-x\times(1-x)'}{(1-x)^2}\\\\\\\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1\times(1-x)-x\times(-1)}{(1-x)^2}\\\\\\\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}\\\\\\\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(a)=\dfrac{1}{(1-a)^2}}[/tex]
D'où, l'équation de la tangente est :
[tex]y=\dfrac{1}{(1-a)^2}(x-a)+\dfrac{a}{1-a}\\\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}\times x-\dfrac{1}{(1-a)^2}\times a+\dfrac{a}{1-a}\\\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a}{1-a}\\\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a(1-a)}{(1-a)^2}\\\\\\y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a}{(1-a)^2}+\dfrac{a}{(1-a)^2}-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}\\\\\\\boxed{y=\dfrac{1}{(1-a)^2}x-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}}[/tex]
Si le point B(-2 , 1) appartenait à cette tangente, alors nous pourrions remplacer x par -2 et y par 1 dans l'équation de la tangente.
Nous aurions alors :
[tex]1=\dfrac{1}{(1-a)^2}\times(-2)-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}\\\\1=\dfrac{-2}{(1-a)^2}-\dfrac{a^2}{(1-a)^2}\\\\1=\dfrac{-2-a^2}{(1-a)^2}\\\\\\(1-a)^2=-2-a^2\\\\1-2a+a^2=-2-a^2\\\\2a^2-2a+3=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\times2\times3=4-24=-20\ \textless \ 0[/tex]
Puisque Δ < 0, l'équation 2a² - 2a + 3 = 0 n'admet pas de solution réelle.
D'où a n'existe pas.
Par conséquent, il n'existe pas de tangente à la courbe Cf passant par le point B(-2 , 1).
