Considérons les triangles DCM et MAB. Les droites (DB) et
(AC) sont sécantes en M. les points C, M, A d’une part et D, M, B d’autre part
sont alignés dans le même ordre et les droites (AB) et (DC) sont parallèles
(car vecteur DB = 18/3 x vecteur AB). Donc d’après le théorème de Thalès, les
longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont proportionnelles. On peut
écrire
MC/MA=MD/MB=DC/AB = 1/3 ==> MD=MB/3 ==>DB=MD+MB=MB/3+MB=4MB/3
ou MB=3DB/4
Soit M’ le point d’intersection des droites(DB) et (KI). Considérons
les triangles DM’K et BM’I. Les droites (DB) et (KI) sont sécantes en M’. les
points K, M’, I d’une part et D, M, B d’autre part sont alignés dans le même
ordre et les droites (IB) et (DK) sont parallèles. Donc d’après le théorème de
Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont
proportionnelles. On peut écrire
M’K/M’I=M’D/M’B=DK/IB . Or DK = DC/2 et IB = AB/2 donc DK/IB = DC/AB = 1/3
donc M’D =M’B/3 ==>
DB=M’D+M’B=M’B/3+M’B= 4M’B/3 ou M’B=3DB/4. Donc M’B=MB. Comme M et M’
appartiennent à (DB) M’ est confondu avec M. Donc les points M, K et I sont
alignés.
Soit K’ le point d’intersection de la droite (NI) avec (DC).
Considérons les triangles DK’N et AIN. Les droites (NI) et
(AN) sont sécantes en N. les points N, K’, I d’une part et N, D, A d’autre part
sont alignés dans le même ordre et les droites (AI) et (DK’) sont parallèles. Donc
d’après le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2
triangles sont proportionnelles. On peut écrire
NK’/NI=ND/NA=DK’/AI ==> DK’=(NK’xAI)/NI
Considérons les triangles CK’N et BIN. Les droites (NI) et (BN)
sont sécantes en N. les points N, K’, I d’une part et N, C, B d’autre part sont
alignés dans le même ordre et les droites (BI) et (CK’) sont parallèles. Donc d’après
le théorème de Thalès, les longueurs des côtés associés de ces 2 triangles sont
proportionnelles. On peut écrire
NK’/NI=NC/NB=CK’/BI ==> CK’=(NK’xBI)/NI.
Or AI = BI donc CK’=DK’ et K’ est le milieu de DC. Il est donc confondu avec le
point K donc les points N, K et I sont alignés.
Donc les 4 points I, M, K et N sont alignés.
